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立方体を積んだ立体の表面積

立方体を積んだ立体を上下・前後・左右の 6 方向から見て見える正方形の数を数え、表面積を求められる

前提

説明

同じ大きさの立方体をいくつか積み重ねてできた立体の表面積(外から見えている面の面積の合計)を求める方法です。立方体の面を 1 つずつ数えるかわりに、立体を上・下・前・後ろ・左・右の 6 つの方向から見たときに見える正方形の数を数え、それに正方形 1 つの面積をかけて求めます。階段の形やピラミッドの形に積んだ立体の表面積を、数えもれなく、すばやく求めるときに使います。

なぜそうしてよいのか

立体の表面にある正方形の面は、どれも上・下・前・後ろ・左・右のどれか 1 つの方向を向いています。たとえば上を向いた面は、真上から見ると見えます。段になっていて高さがちがっても、上向きの面はそれぞれちがう場所にあるので、真上から見たときに見える正方形の数と、上向きの面の数は同じになります。

しかも、直方体の向かい合う面が同じ大きさであるのと同じように、上向きの面の数と下向きの面の数、前向きと後ろ向き、左向きと右向きは、ふつうの積み方なら同じになります。真上から見える形と真下から見える形は、左右が反対になるだけで正方形の数は同じだからです。そこで、(上から見える数 + 前から見える数 + 横から見える数) × 2 で表面の正方形の数がわかり、それに正方形 1 つの面積をかければ表面積になります。

ただし、立体にくぼみやトンネルがあって、6 方向のどこから見ても見えない面がある場合は、その面を別に数えてたす必要があります。

手順

  1. 立方体 1 つの 1 辺の長さから、正方形の面 1 つの面積を求める(例: 1 辺 1 cm なら 1 cm²)

  2. 真上(または真下)から見たときに見える正方形の数を数える

  3. 正面(または後ろ)から見たときに見える正方形の数を数える

  4. 横(右または左)から見たときに見える正方形の数を数える

  5. (上 + 前 + 横)× 2 で表面の正方形の数を出し、どの方向からも見えない面があればそれもたして、面 1 つの面積をかける

例題

1 辺が 1 cm の立方体 6 個を、次のように積みました。1 段目(いちばん下)には 3 個を左から右へ一列にすきまなくならべます。2 段目には 2 個を、1 段目の左の 2 個の真上にのせます。3 段目には 1 個を、2 段目の左の 1 個の真上にのせます。前から見ると階段のような形で、奥行きはどこも立方体 1 個分です。この立体の表面積は何 cm² ですか。

例題の解答

【手順 1】立方体の 1 辺は 1 cm なので、正方形の面 1 つの面積は (cm²) です。

【手順 2】真上から見ると、左・まん中・右の 3 つの列の上の面が見え、たて 1 列・横 3 列にならんだ正方形 3 つが見えます。

【手順 3】正面から見ると、積んだ立方体がすべて見えるので、正方形は つです。

【手順 4】横(右)から見ると、高さが 3 段あって奥行きが 1 個分なので、正方形は 3 つ見えます。

【手順 5】どの方向からも見えない面はないので、表面の正方形の数は です。表面積は (cm²) です。

答え: 24 cm²

答え:

よくある誤り

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること