立体図形の問題
辺が cm の立方体 個を、面と面がぴったり重なるようにくっつけて、次のような階段の形の立体を作りました。
- 段目: 床の上に、立方体 個を左から右へ横一列にすきまなく並べる。
- 段目: 段目の左から 番目と 番目の立方体の真上に、それぞれ 個ずつ立方体をのせる。
- 段目: 段目の左の立方体の真上に、立方体を 個のせる。
どの段も、立方体は前後には 列だけ並んでいます。この立体の表面積は何 cm² ですか。ただし、床についている面も表面積にふくめます。
この問題で使うもの
- 立方体を積んだ立体の表面積（説明と入口の問題）
この問題を解けるようになるまで（2 技能）
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右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。
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ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
立方体 つの面の面積を求めてから、表面に出ている面が何枚あるかを数えましょう。
ヒント 2
正面・うしろ・上・下・左・右の つの方向から見たときに見える面の枚数を数えると、もれなく数えられます。
ヒント 3
正面とうしろからはそれぞれ 枚、上と下からはそれぞれ 枚見えます。左と右から見える枚数も数えましょう。
答えと解説
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解説を読む
立方体の つの面は 辺 cm の正方形なので、面積は です。そこで、立体の表面に出ている正方形の面が何枚あるかを、 つの方向から見て数えます。
左から 列目は 個、 列目は 個、 列目は 個の立方体が積まれています。
- 正面から: 枚
- うしろから: 正面と同じで 枚
- 上から: どの列もいちばん上の面が見えるので 枚
- 下から（床についている面）: 枚
- 左から: 列目の高さが 個分なので 枚
- 右から: 階段の段差の面が 段ずつ見えて、 枚
この立体はへこんだところがなく、どの方向から見ても見える面がすべて表面になっているので、表面の正方形は全部で
です。
したがって、表面積は
です。
（別の考え方）立方体 個の面は全部で 枚です。くっついている面は、横どうしで 段目に か所、 段目に か所、たてどうしで 段目と 段目の間に か所、 段目と 段目の間に か所の、合わせて か所です。 か所ごとに 枚の面がかくれるので、表面の面は 枚となり、同じ答えになります。
答えは cm² です。
別解
1 つの面の面積は cm² なので、見える正方形の面の数を数えます。立方体は、1 段目 3 個、2 段目 2 個、3 段目 1 個の合計 6 個です。
・上から見える面と下（床）の面: 上から見ると 3 つの列に 1 面ずつ見えるので 3 面。下も 3 面。計 6 面。
・前から見える面: 左の列は 3 段、中の列は 2 段、右の列は 1 段で 面。うしろも 6 面。計 12 面。
・左から見える面: 左の列の 3 段で 3 面。
・右から見える面: 階段の段ごとに、左の列は 3 段目の 1 面、中の列は 2 段目の 1 面、右の列は 1 段目の 1 面で 3 面。
面の数は 面。表面積は cm²。
検算: 立方体 6 個のすべての面は 面。くっつく面は、横に並ぶ組が 1 段目で 2 組、2 段目で 1 組の 3 組、たてに重なる組が 1・2 段目間で 2 組、2・3 段目間で 1 組の 3 組、合計 6 組。1 組で 2 面が隠れるので 面で一致します。