1 辺の長さが 3 cm の立方体があります。この立方体の上の面の真ん中にある 1 辺 1 cm の正方形の部分から、下の面の真ん中にある 1 辺 1 cm の正方形の部分まで、まっすぐに（上の面に垂直に）くりぬいて、たて 1 cm、横 1 cm の四角い穴をあけました。穴の正方形の各辺は、立方体の辺と平行です。
くりぬいたあとの立体の表面積（穴の内側の面もふくむ）は何 cm² ですか。
3 cm3 cm3 cm1 cm
くりぬいた立体の表面積
立方体をまっすぐくりぬいたとき、外側の面から減る部分と穴の内側にできる面（穴どうしが交わる部分に注意）を数えて、表面積を求められる
前提
- 立方体を積んだ立体の表面積 （算数 立体図形）
この技能までの道筋（2 技能）
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- 直方体・立方体の表面積 （算数 立体図形）
- 立方体を積んだ立体の表面積 （算数 立体図形）
説明
立方体に、ある面から反対側の面までまっすぐ穴をあけた（くりぬいた）立体の表面積を求めます。穴をあけると、外側の面からは穴の入り口と出口の分だけ面積が減りますが、そのかわりに穴の内側に新しい面（かべ）ができます。この「減る分」と「ふえる分」を正しく数えるのがポイントです。
なぜそうしてよいのか
表面積は、立体の表面に出ているすべての面の面積の合計です。穴をあけた立体の表面は、「外側の面のうち穴があいていない部分」と「穴の内側のかべ」の 2 つでできています。
外側の面は、もとの立方体の表面積から、穴の入り口と出口の正方形（または長方形）の分をひけば求められます。穴の内側のかべは、外からは見えないので、6 方向から見て数えるだけでは数えもれてしまいます。まっすぐな四角い穴なら、内側のかべはトンネルのように 4 枚の長方形で、それぞれのたての長さは穴の長さ（立方体の 1 辺）、横の長さは穴の口の辺の長さです。1 辺 1 cm の小さな立方体が積まれていると考えると、かべの正方形を 1 つずつ数えることもできます。
2 本以上の穴が中で交わるときは注意が必要です。穴どうしが交わる部分では、かべがなくなって別の穴につながっているところがあります。また、2 本の穴が同じかべを共有するところを 2 回数えないようにします。交わる部分の小さな立方体のまわりを 1 つずつ確かめるのが確実です。
手順
もとの立方体の表面積を求める（1 つの面の面積 × 6）
外側の面から、穴の入り口と出口の面積をひく
穴の内側のかべの面積を求める（四角い穴なら、穴の口のまわりの長さ × 穴の長さ。小さな正方形の数で数えてもよい）
穴どうしが交わる部分があれば、なくなったかべをひき、2 回数えたかべを 1 回分にする
外側の面とかべの面積をたして表面積を求める
例題
1 辺が 3 cm の立方体があります。前の面のちょうどまん中にある、1 辺 1 cm の正方形の部分から、後ろの面のちょうどまん中にある 1 辺 1 cm の正方形の部分まで、前の面に垂直にまっすぐ穴をあけて反対側までくりぬきました。残った立体の表面積は何 cm² ですか。
例題の解答
手順 1: もとの立方体の表面積は (cm²) です。
手順 2: 前の面と後ろの面に、1 辺 1 cm の正方形の穴が 1 つずつあくので、 (cm²) 減って、外側の面は (cm²) です。
手順 3: 穴の内側のかべは、たて 3 cm（穴の長さ）、横 1 cm の長方形が上・下・左・右の 4 枚なので、 (cm²) です。
手順 4: 穴は 1 本だけなので、交わる部分はありません。
手順 5: 表面積は (cm²) です。
答え:
よくある誤り
穴の口の分をひくだけで、内側のかべを加え忘れる誤り（例: ）。穴の内側にもかべができるので、正しくは
内側のかべを加えるのに、穴の口の分をひき忘れる誤り（例: ）。前と後ろの面には穴があいて面がなくなるので、正しくは
穴が交わるときに、それぞれの穴のかべをそのままたしてしまう誤り。上の立方体に、さらに上の面のまん中から下の面のまん中まで 1 辺 1 cm の穴をあけると、2 本の穴はまん中で交わる。かべは ではなく、交わる部分でなくなるかべ（各穴 2 枚ずつ、計 4 cm²）と共有されて 2 回数えたかべ（2 cm²）をひいて (cm²)。外側は なので、表面積は正しくは cm²
6 方向から見える正方形を数えるだけで答えてしまう誤り。穴の内側のかべはどの方向からも見えないので、別に数えてたす必要がある
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
1 辺が 1 cm の立方体 27 個をすきまなく積み重ねて、1 辺が 3 cm の大きな立方体を作り、床に置きました。小さな立方体どうしはのりでくっついていて、一部を取りのぞいてもくずれません。
いちばん上の段（たて 3 個・横 3 個の 9 個）のうち、4 すみにあるものでも、真ん中にあるものでもない 4 個（それぞれの辺の真ん中にある 4 個）を取りのぞきました。
こうしてできた立体の表面積（床についている底面もふくみます）は何 cm² ですか。
1 辺が 1 cm の立方体 64 個をすきまなく積み重ねて、1 辺が 4 cm の立方体を作ります。小さな立方体どうしはのりでくっついていて、一部を取りのぞいてもくずれません。
この立方体の、正面の面の真ん中にある「たて 2 個・横 2 個」の 4 個分の正方形の部分から、反対側（うしろ）の面までまっすぐくりぬきます。さらに、上の面の真ん中にある「たて 2 個・横 2 個」の 4 個分の正方形の部分から、反対側（下）の面までまっすぐくりぬきます。
くりぬいたあとに残った立体の表面積は何 cm² ですか。ただし、くりぬいた穴の内側の面も表面積にふくめます。
4 cm4 cm4 cm1 辺が 1 cm の立方体 125 個をすきまなく積み重ねて、1 辺が 5 cm の大きな立方体を作りました。小さな立方体どうしはのりでくっついていて、一部を取りのぞいてもくずれません。
この大きな立方体から、次の 2 つのトンネルをあけるように小さな立方体を取りのぞきます。
- 正面の面のちょうど真ん中にある 1 個から、後ろの面のちょうど真ん中にある 1 個まで、まっすぐに並んだ 5 個を取りのぞく。
- 右の面のちょうど真ん中にある 1 個から、左の面のちょうど真ん中にある 1 個まで、まっすぐに並んだ 5 個を取りのぞく。
2 つのトンネルは、大きな立方体の中心にある 1 個のところで交わっています。上の面と下の面には穴をあけません。
こうしてできた立体の表面積（トンネルの内側の面もふくみます）は何 cm² ですか。
斜線の部分がトンネルの入り口（後ろと左の面にも同じように入り口があります） 1 辺が 1 cm の立方体 216 個をすきまなく積み重ねて、1 辺が 6 cm の大きな立方体を作りました。小さな立方体どうしはのりでくっついていて、一部を取りのぞいてもくずれません。
この大きな立方体から、次の 2 つのくりぬきをしました。
- 正面の面の真ん中にある「たて 2 個・横 2 個」の正方形の部分から、反対側（背面）まで、正面に垂直にまっすぐくりぬく
- 上の面の真ん中にある「たて 2 個・横 2 個」の正方形の部分から、反対側（下の面）まで、上の面に垂直にまっすぐくりぬく
くりぬいた部分は、どちらも 1 辺 2 cm の正方形を切り口とする四角柱の形のトンネルになり、2 つのトンネルは大きな立方体の中心のところで交わっています。
こうしてできた立体の表面積（穴の内側の面もふくめた、すべての面の面積の合計）は何 cm² ですか。
6 cm6 cm6 cm2 cm2 cm色をつけた部分が穴の入り口です