立体図形の問題

表面積を「外側の面」と「穴の内側の面」に分けて求めます。小さな立方体の面 1 つは 1 cm² です。

外側の面

もとの立方体の表面積は
$$4\times 4\times 6=96$$
です。正面・うしろ・上・下の 4 つの面には、それぞれ 4 cm² の穴があいているので
$$96-4\times 4=80$$

穴の内側の面

くりぬいた部分を、正面からうしろへ通る穴（前後の穴）と、上から下へ通る穴（上下の穴）に分けて考えます。2 つの穴は、立方体のまん中にある「たて 2 cm・横 2 cm・高さ 2 cm」の部分で重なっています。

前後の穴は、たて 2 cm・横 2 cm・長さ 4 cm のトンネルです。
- 左右の壁：たて 2 cm × 長さ 4 cm = 8 cm² が 2 つで 16 cm²。上下の穴はこの壁には穴をあけないので、そのまま残ります。
- 天井と床：それぞれ 2 cm × 4 cm = 8 cm² ですが、まん中の 2 cm × 2 cm = 4 cm² の部分は上下の穴が通っていて面がありません。残りは 8 − 4 = 4 cm² が 2 つで 8 cm²。

上下の穴は、たて 2 cm・横 2 cm・長さ 4 cm のトンネルです。
- 左右の壁：それぞれ 2 cm × 4 cm = 8 cm² ですが、まん中の高さ 2 cm の部分は、前後の穴の左右の壁とすでに同じ面として数えています。重ならない部分は 2 cm × 2 cm = 4 cm² が 2 つで 8 cm²。
- 前とうしろの壁：それぞれ 2 cm × 4 cm = 8 cm² ですが、まん中の 2 cm × 2 cm = 4 cm² の部分は前後の穴が通っていて面がありません。残りは 4 cm² が 2 つで 8 cm²。

穴の内側の面の合計は
$$16+8+8+8=40$$

合計
$$80+40=120$$

よって、答えは 120 cm² です。

1 辺 4 cm の立方体の真ん中を、正面からうしろへ 2 cm×2 cm の穴で、上から下へ 2 cm×2 cm の穴でくりぬく。2 つの穴は立方体の中心で、1 辺 2 cm の立方体の部分が重なる。

【外側の面】
・正面とうしろ: 1 面あたり $4\times 4-2\times 2=12$ (cm²) なので $12\times 2=24$ (cm²)
・上と下: 1 面あたり $16-4=12$ (cm²) なので $12\times 2=24$ (cm²)
・左と右: 穴は通らないので 1 面 $16$ (cm²) で $16\times 2=32$ (cm²)
外側の合計は $24+24+32=80$ (cm²)

【穴の内側の面】
上下にあけた穴の左右のかべ（左側と右側の面）: それぞれ上から下まで高さ 4 cm、はば 2 cm の面が 1 枚ずつ。ここに正面からうしろの穴がぶつかっても、穴のかべは同じ平面上にあり、その部分は「正面からうしろの穴の左右のかべ」と同じ面になる。
左のかべ全体（同じ平面）: 上下の穴のかべ $2\times 4=8$ (cm²) に、正面側とうしろ側の短い部分（はば 1 cm ずつ、高さ 2 cm ずつ）$1\times 2\times 2=4$ (cm²) を加えて $12$ (cm²)。右のかべも同じで $12$ (cm²)。2 枚で $24$ (cm²)。

正面からうしろの穴の「床」と「天井」: 穴の手前と奥の部分だけが面になり（真ん中は上下の穴と重なって面がない）、はば 2 cm、長さ 1 cm の面が手前・奥に 1 枚ずつあるので、床と天井で $2\times 1\times 2\times 2=8$ (cm²)。

上下の穴の「正面側のかべ」と「うしろ側のかべ」: 穴の上と下の部分だけが面になり（真ん中は正面からうしろの穴と重なって面がない）、はば 2 cm、高さ 1 cm の面が上・下に 1 枚ずつあるので、正面側とうしろ側で $2\times 1\times 2\times 2=8$ (cm²)。

内側の合計は $24+8+8=40$ (cm²)。

【合計】
$80+40=120$ (cm²)

検算: 真ん中の 1 辺 2 cm の立方体の部分は、上下・前後の 4 方向が穴で、左右の 2 面だけがかべ。残りの穴の部分（上、下、手前、奥の 4 か所の 2 cm×2 cm×1 cm の通路）は、それぞれ 4 面（左右と、ほかの穴と交わらない 2 面）…ではなく 3 面ずつあるので、通路 4 か所で内側の面は $(2\times 1)\times 4\times$ …と数えなおすと、左右のかべ分 $1\times 2\times 2$ が 1 か所あたり $4$ (cm²) で $4\times 4=16$、上下（または前後）の 2 面分 $2\times 1\times 2=4$ で $4\times 4=16$、これに真ん中の立方体の左右のかべ $2\times 2\times 2=8$ を加えて $16+16+8=40$ (cm²)。一致する。