立体図形の問題
1 辺が 1 cm の立方体 125 個をすきまなく積み重ねて、1 辺が 5 cm の大きな立方体を作りました。小さな立方体どうしはのりでくっついていて、一部を取りのぞいてもくずれません。
この大きな立方体から、次の 2 つのトンネルをあけるように小さな立方体を取りのぞきます。
- 正面の面のちょうど真ん中にある 1 個から、後ろの面のちょうど真ん中にある 1 個まで、まっすぐに並んだ 5 個を取りのぞく。
- 右の面のちょうど真ん中にある 1 個から、左の面のちょうど真ん中にある 1 個まで、まっすぐに並んだ 5 個を取りのぞく。
2 つのトンネルは、大きな立方体の中心にある 1 個のところで交わっています。上の面と下の面には穴をあけません。
こうしてできた立体の表面積（トンネルの内側の面もふくみます）は何 cm² ですか。
この問題で使うもの
- くりぬいた立体の表面積（説明と入口の問題）
- 直方体・立方体の表面積（説明と入口の問題）
この問題を解けるようになるまで（3 技能）
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右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。
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ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
「もとの立方体の外側の面」から入り口の穴の分をひき、そこに「トンネルの内側のかべ」を加える、という順で考えましょう。
ヒント 2
取りのぞく立方体は、中心の 1 個が 2 つのトンネルに共通なので全部で 9 個です。取りのぞいた位置ごとに、かべになる面がいくつあるかを数えます。中心の位置だけはかべの数がちがいます。
ヒント 3
外側の面は です。中心以外の 8 か所はかべが 4 面ずつで 面になります。あとは中心の位置のかべを数えて合わせます。
答えと解説
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解説を読む
小さな立方体の面 1 つの面積は です。「外側の面」と「トンネルの内側の面」に分けて数えます。
外側の面
もとの大きな立方体の表面積は
トンネルの入り口が、正面・後ろ・右・左の 4 つの面に 1 つずつあき、それぞれ ずつ表面がなくなります。
トンネルの内側の面
取りのぞいた立方体は、前後のトンネルの 5 個と、左右のトンネルの 5 個ですが、中心の 1 個は両方にふくまれているので、全部で 個です。取りのぞいた位置ごとに、まわりに残っている立方体の面（トンネルのかべ）を数えます。
- 前後のトンネルのうち、中心以外の 4 個の位置：上・下・左・右の 4 方向に立方体が残っているので、かべは 4 面ずつ。 面
- 左右のトンネルのうち、中心以外の 4 個の位置：上・下・前・後ろの 4 方向に立方体が残っているので、かべは 4 面ずつ。 面
- 中心の 1 個の位置：前後と左右はトンネルにつながっているので、かべは上と下の 2 面だけ。
トンネルの内側の面は
合計
（たしかめ）残った立方体は 個で、面は全部で 面です。くっついている面の組は、もとの立方体では 組あり、取りのぞいた 9 個に関係する組が 組あるので、残りは 組です。表面に出ている面は 面で、答えと合います。
答えは 180 cm² です。
別解
もとの大きな立方体の表面積は cm²。
取りのぞく小さな立方体は、2 本のトンネルが中心の 1 個で交わるので 個。
外側の面は、トンネルの出入り口が 4 か所あり、そのたびに 1 cm² ずつ減るので cm²。
トンネルの内側の面は、取りのぞいた 9 個のまわりに見える面を数える。中心の 1 個は、上と下の 2 面が内側の面になる（前後・左右は取りのぞいた部分とつながっている）。ほかの 8 個は、トンネルの方向以外の 4 面がそれぞれ内側の面になるので 。合計 cm²。
よって 。
検算: 1 本だけあけると cm²。2 本目をあけると、出入り口で 、中心を除く 4 個ぶんの内側 、中心をはさむ 2 個のもとの内側 4 面ぶんが消え、中心の上下 2 面が加わるなどを数え直しても 180 cm² になる。