立体図形の問題
1 辺が 1 cm の白い立方体 125 個をすきまなく積み重ねて、1 辺が 5 cm の大きな立方体を作り、床の上に置きました。
この大きな立方体の、床についている下の面をのぞいた 5 つの面（上の面と、前・後ろ・左・右の 4 つの側面）に、すべて赤いペンキをぬりました。そのあと、大きな立方体をばらばらにして、もとの 125 個の小さな立方体にもどしました。
小さな立方体のうち、赤くぬられた面がちょうど 1 つだけであるものは何個ありますか。
ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
段ごとに分けて考えましょう。いちばん上の段と、それより下の段では、ぬられ方がちがいます。
ヒント 2
いちばん上の段は、どの立方体も上の面がぬられています。それより下の段は、側面に出ている面だけがぬられています（下の面はぬっていません）。
ヒント 3
いちばん上の段で 1 面だけぬられているのは内側の 3 × 3 = 9 個です。下の 4 段では、1 つの段につき、すみ以外のまわりの立方体が 1 面だけぬられています。
答えと解説
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解説を読む
大きな立方体は、たて 5 個・横 5 個・高さ 5 段に小さな立方体が並んでいます。下から 1 段目〜5 段目に分けて考えます。
ペンキをぬったのは、上の面と 4 つの側面です。下の面はぬっていません。
5 段目（いちばん上の段）
この段の 25 個は、どれも上の面がぬられています。
- 4 すみの 4 個: 上の面と側面 2 つで、3 面ぬられている
- 4 すみ以外のまわりの 個: 上の面と側面 1 つで、2 面ぬられている
- 内側の 個: 上の面だけで、1 面ぬられている
1 面だけぬられているのは 個です。
1 段目〜4 段目
これらの段の立方体は、上の面には出ていません。また、1 段目の下の面はぬっていません。そのため、ぬられているのは側面だけです。1 つの段で見ると、
- 4 すみの 4 個: 側面 2 つで、2 面ぬられている
- 4 すみ以外のまわりの 個: 側面 1 つで、1 面ぬられている
- 内側の 9 個: ぬられていない
1 面だけぬられているのは、1 つの段に 個で、4 段あるので
合計
（たしかめ）3 面: 4 個、2 面: 個、1 面: 57 個、0 面: 個で、 個になります。
よって、答えは 個です。
別解
ぬった面は、上の面と前・後ろ・左・右の 4 つの側面です。下の面はぬっていません。
(1) 一番上の段（上から 1 段目）
上の面はぬってあります。この段で赤い面がちょうど 1 つ（上の面だけ）になるのは、側面にふれていない立方体です。これは、まわりの 1 周ぶんを除いた真ん中の 3×3 = 9 (個) です。
(2) 下の 4 段（上から 2〜5 段目）
これらの段では上の面はぬられていません。赤い面は側面だけです。1 つの段は 5×5 の正方形に並んでいて、ちょうど 1 つの側面にふれているのは、四すみをのぞいたふちの立方体です。1 つの辺に 5 − 2 = 3 個ずつあり、4 辺で 3×4 = 12 (個) です。
4 段あるので 12×4 = 48 (個) です。一番下の段の立方体も、下の面はぬっていないので、同じように数えられます。
(3) 合計
9 + 48 = 57 (個)
確かめ：赤い面の数が 0 個のものは、内側の 3×3×4 = 36 個（上の段をのぞく 4 段のうち真ん中の 3×3 の部分）。2 個以上のものを数えます。上の段のふち 16 個はすべて 2 個以上。下の 4 段の四すみは 4×4 = 16 個で、側面 2 つでちょうど 2 個。上の段のふち 16 個（そのうち四すみの 4 個は 3 個）。合計は 36 + 57 + 16 + 16 = 125 となり、全部の個数と一致します。