空間図形の問題

$CR$ の長さを求める

面 $ABFE$ と面 $DCGH$ は平行なので、平面 $APQ$ との交線 $AP$ と $QR$ は平行です。同じように、面 $ADHE$ と面 $BCGF$ は平行なので $AQ\parallel PR$ です。よって、切り口の四角形 $APRQ$ は平行四辺形です。

$AP\parallel QR$ で、面 $ABFE$ と面 $DCGH$ は合同な長方形が向かい合っているので、$A$ から $B$ に進むと $3\text{cm}$ 上がるのと同じく、$D$ から $C$ に進むと $3\text{cm}$ 上がります。よって
$$CR=DQ+3=5+3=8(\text{cm})$$
（$CR=8<10$ なので、$R$ は辺 $CG$ 上にあります。）

したがって、頂点 $B$ を含む方の立体（切り口より下の部分）は、底面が長方形 $ABCD$ で、$4$ 本の縦の辺の長さが $A$ で $0\text{cm}$、$BP=3\text{cm}$、$CR=8\text{cm}$、$DQ=5\text{cm}$ の立体です。

体積を求める

この立体と合同な立体をもう $1$ 個用意し、上下を逆さにして、さらに底面の長方形の中心のまわりに $180^{\circ }$ 回して、もとの立体の上に重ねます。すると、もとの立体の $A$, $B$, $C$, $D$ の真上には、それぞれ縦の辺の長さが $8$, $5$, $0$, $3\text{cm}$ の部分が重なり、どの頂点でも縦の長さの合計が
$$0+8=3+5=8+0=5+3=8(\text{cm})$$
になります。$2$ 個の立体の切り口はどちらも平面で、ぴったり重なるので、$2$ 個を合わせると、底面が $6\text{cm}\times 4\text{cm}$、高さ $8\text{cm}$ の直方体になります。

よって、求める体積はこの直方体の体積の半分で
$$6\times 4\times 8\times \frac{1}{2}=96({\text{cm}}^3)$$

平面 $APQ$ は底面 $ABCD$ に対して傾いた平面である。底面は平行四辺形（長方形）で、切断面 $APRQ$ も平行四辺形になる。$AP//QR$、$AQ//PR$ より、$CR=BP+DQ=3+5=8\text{cm}$ となる。（座標で $A(0,0,0)$, $B(6,0,0)$, $D(0,4,0)$ とすると、平面は $z=\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}y$ で、$C(6,4)$ での高さは $3+5=8$。）$8<10$ なので $R$ は辺 $CG$ 上にある。
頂点 $B$ を含む方の立体は、底面 $ABCD$ の上に、$A$, $B$, $C$, $D$ の真上の高さがそれぞれ $0$, $3$, $8$, $5$ の柱を、斜めの面で切り取ったものである。
この立体と同じものをもう 1 つ用意し、上下を逆にして（$A$ と $C$、$B$ と $D$ が入れ替わるように底面の上で $180^{\circ }$ 回転させて）組み合わせると、各頂点の真上の高さの和がどこも $8$ になり、底面 $24{\text{cm}}^2$、高さ $8\text{cm}$ の直方体になる。その体積は $6\times 4\times 8=192$。
よって 1 つの立体の体積は $192÷2=96{\text{cm}}^3$。
検算: 底面積 $24$ に、4 つの高さの平均 $\frac{0+3+8+5}{4}=4$ をかけると $24\times 4=96$ で一致する。$B$ は平面の下側（高さ $0<3$）にあるので、$B$ を含む方はこの立体である。