空間図形の問題

球の半径を求める

円錐の頂点を $O$、底面の中心を $H$、底面の円周上の点を $A$ とし、円錐の頂点を通り底面に垂直な平面で切った切り口を考えます。切り口は $OH=8\text{cm}$、$AH=6\text{cm}$ の二等辺三角形で、球の切り口はこの三角形の $3$ 辺に接する円になります。

$△OAH$ で三平方の定理より
$$O{A}^2=O{H}^2+A{H}^2=8^2+6^2=100,OA=10(\text{cm})$$

球の中心を $I$、半径を $r\text{cm}$ とします。$I$ は線分 $OH$ 上にあり、$IH=r$ なので $OI=8-r$ です。球と母線 $OA$ の接点を $T$ とすると、$IT\perp OA$、$IT=r$ です。

$△OIT$ と $△OAH$ で、$\angle OTI=\angle OHA=90^{\circ }$、$\angle IOT=\angle AOH$（共通）なので $△OIT\sim △OAH$ です。よって
$$IT:OI=AH:OA$$
$$r:(8-r)=6:10=3:5$$
$$5r=3(8-r)$$
$$8r=24,r=3$$

体積を求める

円錐の体積は
$$\frac{1}{3}\times \pi \times 6^2\times 8=96\pi ({\text{cm}}^3)$$
球の体積は
$$\frac{4}{3}\pi \times 3^3=36\pi ({\text{cm}}^3)$$

よって、求める体積は
$$96\pi -36\pi =60\pi ({\text{cm}}^3)$$

円錐の頂点と底面の中心を通る平面で切った断面を考える。断面は底辺 $12$、高さ $8$ の二等辺三角形で、等しい辺（母線）の長さは $\sqrt{6^2+8^2}=10$。球の断面は、この三角形の 3 辺すべてに接する円（内接円）になる。
三角形の面積は $\frac{1}{2}\times 12\times 8=48$、3 辺の長さの和は $10+10+12=32$。内接円の半径を $r$ とすると、面積について $\frac{1}{2}\times r\times 32=48$ より $r=3$。
球の体積は $\frac{4}{3}\pi \times 3^3=36\pi$。
円錐の体積は $\frac{1}{3}\pi \times 6^2\times 8=96\pi$。
求める体積は $96\pi -36\pi =60\pi {\text{cm}}^3$。
検算: 球の中心は底面から $3$ の高さにあり、頂点までの距離は $5$。中心から母線までの距離は $5\times \frac{6}{10}=3$ で、半径 $3$ と一致する。