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相似と三平方の定理の問題

難易度 1教科書の例題レベル中学数学相似と三平方の定理

点 $O$ を中心とする半径 $6 cm$ の円に、弦 $AB$ があります。中心 $O$ から弦 $AB$ に垂線をひき、弦 $AB$ との交点を $H$ とすると、 $OH = 4 cm$ でした。弦 $AB$ の長さは何 cm ですか。

O

A

B

H

6 cm

4 cm

この問題で使うもの

三平方の定理と平面図形（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（24 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

半径・中心から弦までの距離・弦の半分でできる直角三角形を見つけ、三平方の定理を使います。

ヒント 2

三角形 $OAH$ は $∠ OHA = 9 0^{\circ}$ の直角三角形で、斜辺は半径 $OA = 6 cm$ です。また、 $H$ は弦 $AB$ の中点です。

ヒント 3

$AH^{2} = 6^{2} - 4^{2} = 20$ なので $AH = 25 cm$ です。 $AB$ は $AH$ の何倍か考えましょう。

答えと解説

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45

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解説を読む

1. 直角三角形を見つける

$OH ⊥ AB$ なので、三角形 $OAH$ は $∠ OHA = 9 0^{\circ}$ の直角三角形です。斜辺は半径 $OA = 6 cm$ です。

2. 三平方の定理で $AH$ を求める
$AH^{2} + OH^{2} = OA^{2}$
$AH^{2} + 4^{2} = 6^{2}$
$AH^{2} = 36 - 16 = 20$
$AH > 0$ なので
$AH = 20 = 25$

3. 弦の長さを求める

$OA = OB$ なので三角形 $OAB$ は二等辺三角形で、頂点 $O$ から底辺 $AB$ にひいた垂線は $AB$ を 2 等分します。よって $AH = BH$ で
$AB = 2 AH = 2 \times 25 = 45$

答え: $45 cm$

別解

$△ O A H$ は $∠ H = 9 0^{\circ}$ の直角三角形で $O A = 6$ 、 $O H = 4$ 。三平方の定理より $A H^{2} = 36 - 16 = 20$ 、 $A H = 25$ 。中心から弦にひいた垂線は弦を 2 等分するので $A B = 2 A H = 45$ 。確かめ: $(25)^{2} + 4^{2} = 20 + 16 = 36$ 。答えは $45 cm$ 。

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