空間図形の問題

円錐の底面の半径を $r\text{cm}$、母線の長さを $\ell \text{cm}$ とします（$r>0$, $\ell >0$）。

母線と半径の関係

側面の展開図のおうぎ形は、半径が $\ell$、中心角が $120^{\circ }$ です。おうぎ形の弧の長さは底面の円周と等しいので
$$2\pi \ell \times \frac{120}{360}=2\pi r$$
$$\frac{2}{3}\pi \ell =2\pi r$$
$$\ell =3r$$

表面積から半径を求める

側面積は
$$\pi {\ell }^2\times \frac{120}{360}=\frac{1}{3}\pi {\ell }^2=\frac{1}{3}\pi (3r{)}^2=3\pi r^2$$
底面積は $\pi r^2$ なので、表面積は
$$\pi r^2+3\pi r^2=4\pi r^2$$
これが $36\pi$ に等しいので
$$4\pi r^2=36\pi ,r^2=9$$
$r>0$ より $r=3$、したがって $\ell =9$ です。

高さと体積

円錐の高さを $h\text{cm}$ とすると、高さ・底面の半径・母線は直角三角形をつくるので、三平方の定理より
$$h^2={\ell }^2-r^2=81-9=72$$
$h>0$ より $h=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$ です。

よって体積は
$$\frac{1}{3}\times \pi \times 3^2\times 6\sqrt{2}=18\sqrt{2}\pi ({\text{cm}}^3)$$

底面の半径を $r$ cm、母線の長さを $l$ cm とする。
展開図のおうぎ形の弧の長さは底面の円周に等しい。おうぎ形の中心角が $120^{\circ }$ なので、弧の長さは円周 $2\pi l$ の $\frac{120}{360}=\frac{1}{3}$ で、$2\pi r=\frac{1}{3}\times 2\pi l$ より $r=\frac{1}{3}l$、すなわち $l=3r$。
表面積は、底面 $\pi r^2$ と側面 $\pi lr$（おうぎ形の面積 $\frac{1}{2}\times l\times 2\pi r$）の和で、$\pi r^2+\pi \times 3r\times r=4\pi r^2$。
$4\pi r^2=36\pi$ より $r^2=9$ なので $r=3$ cm、$l=9$ cm。
高さは三平方の定理より $\sqrt{9^2-3^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$ cm。
体積は $\frac{1}{3}\times \pi \times 3^2\times 6\sqrt{2}=18\sqrt{2}\pi$ (${\text{cm}}^3$)。
確かめ: 側面積 $\pi \times 9\times 3=27\pi$、底面積 $9\pi$、合計 $36\pi$ で一致する。