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角錐・円錐の表面積

正角錐や円錐の表面積を、底面積と側面積の和（円錐なら $\pi r^2+\pi r\ell$）として求められる

前提

• 円錐の展開図と側面積 （中学数学 空間図形）

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. 展開図を思いうかべ、底面が 1 つ、側面がいくつの面（またはおうぎ形）からなるかを確かめる

2. 底面積を求める（円錐なら $\pi r^2$、正四角錐なら 1 辺の 2 乗など）

3. 側面積を求める。正角錐は（側面の二等辺三角形 1 つの面積）×（側面の数）、円錐は $\pi r\ell$

4. 底面積と側面積をたして表面積とする：表面積 $=$ 底面積 $+$ 側面積

例題

よくある誤り

• 角柱・円柱と同じように底面を 2 つ加えてしまう誤り。$r=5$、$\ell =12$ の円錐で $2\times 25\pi +60\pi =110\pi$ としてしまう。正しくは底面は 1 つなので $25\pi +60\pi =85\pi$

• 側面積だけを答えて底面積を加え忘れる誤り。上の円錐の表面積を $60\pi$ としてしまう。正しくは底面積 $25\pi$ を加えて $85\pi$

• 正角錐の側面の三角形の高さに、角錐そのものの高さ（頂点から底面への垂線の長さ）を使ってしまう誤り。底面の 1 辺 $6$ cm、角錐の高さ $4$ cm、側面の二等辺三角形の高さ $5$ cm の正四角錐で、側面積を $\frac{1}{2}\times 6\times 4\times 4=48$ としてしまう。正しくは $\frac{1}{2}\times 6\times 5\times 4=60$ で、表面積は $36+60=96$（cm${}^2$）

• 円錐の側面積を $\pi {\ell }^2$（半径 $\ell$ の円全体）としてしまう誤り。側面は円全体の $\frac{r}{\ell }$ にあたるおうぎ形なので、正しくは $\pi {\ell }^2\times \frac{r}{\ell }=\pi r\ell$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  正四角錐 $\mathrm{O}\text{-}\mathrm{ABCD}$ があります。底面は 1 辺が $6\text{cm}$ の正方形 $\mathrm{ABCD}$ で、4 つの側面はどれも合同な二等辺三角形です。側面の二等辺三角形 $\mathrm{OAB}$ で、辺 $\mathrm{AB}$ を底辺としたときの高さは $5\text{cm}$ です。この正四角錐の表面積は何 ${\text{cm}}^2$ ですか。

  $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{C}$$\mathrm{D}$$\mathrm{O}$$6\text{cm}$$5\text{cm}$

この技能を使う問題

• 難易度 2（教科書の章末問題レベル）

  底面の半径が $5\text{cm}$、高さが $12\text{cm}$ の円錐がある。この円錐の表面積は何 ${\text{cm}}^2$ か。ただし、円周率は $\pi$ とする。

  12 cm5 cm

• 難易度 3（公立高校入試の標準レベル）

  頂点を $O$ とし、底面の半径が $4\text{cm}$ の円錐があります。この円錐を平面の上に横にたおして置き、頂点 $O$ を中心として、平面の上をすべらないように転がしたところ、円錐はちょうど $3$ 回転して、はじめて元の位置にもどりました。この円錐の表面積は何 ${\text{cm}}^2$ か求めなさい。ただし、円周率は $\pi$ とします。

  $\mathrm{O}$$4\text{cm}$

• 難易度 4（公立高校入試の難問・私立高校入試レベル）

  ある円錐の側面の展開図は、中心角が $120^{\circ }$ のおうぎ形です。この円錐の表面積が $36\pi {\text{cm}}^2$ のとき、円錐の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。

  $120^{\circ }$

• 難易度 4（公立高校入試の難問・私立高校入試レベル）

  正方形 $\mathrm{ABCD}$ を底面とする正四角錐 $\mathrm{O}\text{-}\mathrm{ABCD}$ があります。この正四角錐の高さは $4\text{cm}$、表面積は $96{\text{cm}}^2$ です。この正四角錐の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。

  $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{C}$$\mathrm{D}$$\mathrm{O}$$4\text{cm}$

• 難易度 4（公立高校入試の難問・私立高校入試レベル）

  底面が $1$ 辺 $8\text{cm}$ の正方形 $\mathrm{ABCD}$ で、$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{OD}$ である正四角錐 $\mathrm{O}\text{-}\mathrm{ABCD}$ があります。この正四角錐の体積は $128{\text{cm}}^3$ です。

  この正四角錐の表面積は何 ${\text{cm}}^2$ ですか。

  $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{C}$$\mathrm{D}$$\mathrm{O}$8 cm

この技能の次に学べること

• 表面積・体積から立体の寸法を逆算する （中学数学 空間図形）