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空間図形の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル中学数学空間図形

半径 $3 cm$ の金属の球が $8$ 個あります。これらをすべて溶かして、 $1$ 個の球を作りました。溶かす前後で金属の体積は変わらないものとします。できた球の表面積は何 $cm^{2}$ ですか。

3 cm

溶かす前の球（これが

8

個）

この問題で使うもの

相似な立体の表面積の比と、溶かして作り直す問題（説明と入口の問題）
球の体積と表面積（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（23 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

溶かす前の球 $8$ 個の体積の合計と、できた球の体積が等しいことを使いましょう。

ヒント 2

球の体積は $\frac{4}{3} π r^{3}$ 、表面積は $4 π r^{2}$ です。まず、できた球の半径を求めましょう。

ヒント 3

半径 $3 cm$ の球 $8$ 個の体積は $288 π cm^{3}$ です。できた球の半径を $R$ とすると $\frac{4}{3} π R^{3} = 288 π$ となり、 $R^{3} = 216$ です。

答えと解説

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144 π

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解説を読む

半径 $r$ の球の体積は $\frac{4}{3} π r^{3}$ 、表面積は $4 π r^{2}$ です。

半径 $3 cm$ の球 $1$ 個の体積は
$\frac{4}{3} π \times 3^{3} = \frac{4}{3} π \times 27 = 36 π (cm^{3})$
なので、 $8$ 個分の体積は
$36 π \times 8 = 288 π (cm^{3})$
です。

できた球の半径を $R cm$ とすると、体積が等しいので
$\frac{4}{3} π R^{3} = 288 π$
両辺を $\frac{4}{3} π$ でわると
$R^{3} = 288 \times \frac{3}{4} = 216$
$216 = 6 \times 6 \times 6$ より $R = 6$ です。

よって、できた球の表面積は
$4 π \times 6^{2} = 4 π \times 36 = 144 π (cm^{2})$
です。

別解

溶かす前の球1個の体積は $\frac{4}{3} π \times 3^{3} = 36 π$ なので、8個の体積の合計は $36 π \times 8 = 288 π (cm^{3})$ 。できた球の半径を $r cm$ とすると $\frac{4}{3} π r^{3} = 288 π$ より $r^{3} = 216$ 。 $6^{3} = 216$ だから $r = 6$ 。表面積は $4 π \times 6^{2} = 144 π (cm^{2})$ 。検算: 半径の比が $3 : 6 = 1 : 2$ なので体積比は $1 : 8$ となり、8個分の体積と一致する。

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