相似な立体の表面積の比と、溶かして作り直す問題

相似比が $m : n$ の立体の表面積の比が $m^{2} : n^{2}$ になることを使い、また半径 $3 cm$ の球 8 個を溶かして 1 個の球にするときのように、体積の和が変わらないことと体積比 $m^{3} : n^{3}$ から新しい立体の半径を求めて、その表面積を求められる

前提

相似な立体の体積比（中学数学相似と三平方の定理）
球の体積と表面積（中学数学空間図形）

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算数中学高校大学大学院

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相似な図形の面積の比（算数平面図形）
相似な立体の体積比（中学数学相似と三平方の定理）
球の体積と表面積（中学数学空間図形）

説明

相似比が $m : n$ の 2 つの立体では、表面積の比は $m^{2} : n^{2}$ 、体積の比は $m^{3} : n^{3}$ になります。この 2 つの関係を組み合わせると、いくつかの球や立体を溶かして 1 つにまとめたときの新しい立体の大きさ（半径など）を求め、その表面積を計算できます。体積から相似比を逆算し、相似比から表面積を出す、という流れで使います。

なぜそうしてよいのか

表面積の比が相似比の 2 乗になる理由：立体の表面は平面図形（多角形、おうぎ形、円など）の集まりで、相似な立体では対応する面どうしもすべて相似比 $m : n$ で相似です。相似な図形の面積比は $m^{2} : n^{2}$ なので、それらをすべてたした表面積も $m^{2} : n^{2}$ になります。たとえば球はどれも相似で、半径の比が $m : n$ なら表面積は $4 π m^{2} : 4 π n^{2} = m^{2} : n^{2}$ です。

溶かして作り直す問題では、材料の量、つまり体積の合計は変わりません。たとえば同じ大きさの小さな球を $k$ 個溶かして 1 個の大きな球にすると、大きな球の体積は小さな球の $k$ 倍です。球どうしは相似なので、体積比 $1 : k$ が相似比の 3 乗になります。そこで「3 回かけると $k$ になる数」を見つければ相似比がわかり、半径が求められます。たとえば $k = 8$ なら $2 \times 2 \times 2 = 8$ より半径は 2 倍です。

なお、溶かして作り直すと体積は保たれますが、表面積は保たれません。 $k$ 個の小さな球の表面積の合計と、大きな球の表面積は別のものなので、表面積は新しい半径から改めて求めます。

手順

もとの立体の体積（の合計）を考え、溶かして作り直しても体積の合計が変わらないことから、新しい立体の体積がもとの何倍かを求める
体積の比 $m^{3} : n^{3}$ から、3 回かけてその数になる数を見つけて相似比 $m : n$ を求める
相似比を使って新しい立体の半径（や辺の長さ）を求める
表面積は相似比の 2 乗 $m^{2} : n^{2}$ を使うか、新しい半径を $S = 4 π r^{2}$ などに代入して求める

例題

半径 $2$ cm の鉄の球 $27$ 個を溶かして、1 個の球を作り直した。作り直した球の表面積は何 cm $^{2}$ か。 $π$ を使って求めよ。ただし、溶かす前後で体積の合計は変わらないものとする。

例題の解答

手順 1：体積の合計は変わらないので、新しい球の体積は半径 $2$ cm の球 1 個の $27$ 倍である。

手順 2：球どうしは相似なので、小さい球と新しい球の体積比 $1 : 27$ は相似比の 3 乗である。 $3 \times 3 \times 3 = 27$ なので、相似比は $1 : 3$ 。

手順 3：新しい球の半径は $2 \times 3 = 6$ cm。

手順 4：表面積は $4 π \times 6^{2} = 144 π$ （cm $^{2}$ ）。（相似比を使うと、小さい球の表面積 $4 π \times 2^{2} = 16 π$ の $3^{2} = 9$ 倍で $144 π$ と求めてもよい。）

答え： $144 π$ cm $^{2}$

答え: $144 π$

よくある誤り

体積が $27$ 倍だから半径も $27$ 倍としてしまう誤り。上の例で半径を $2 \times 27 = 54$ としてしまう。正しくは体積比 $1 : 27 = 1^{3} : 3^{3}$ より相似比は $1 : 3$ で、半径は $6$
溶かして作り直すと表面積も保たれると考え、新しい球の表面積を小さい球の表面積の合計 $16 π \times 27 = 432 π$ としてしまう誤り。保たれるのは体積だけなので、正しくは新しい半径 $6$ から $4 π \times 6^{2} = 144 π$
表面積の比を相似比のまま、または 3 乗にしてしまう誤り。相似比 $1 : 3$ の球の表面積を $16 π \times 3 = 48 π$ や $16 π \times 27 = 432 π$ としてしまう。正しくは表面積の比は $1^{2} : 3^{2} = 1 : 9$ なので $16 π \times 9 = 144 π$
体積比を相似比の 2 乗としてしまう誤り。相似比 $2 : 3$ の立体の体積比を $4 : 9$ としてしまう。正しくは表面積の比が $4 : 9$ 、体積比は $2^{3} : 3^{3} = 8 : 27$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
相似な 2 つの円柱 $P$ , $Q$ があり、 $P$ と $Q$ の相似比は $2 : 3$ です。円柱 $P$ の表面積が $48 π cm^{2}$ のとき、円柱 $Q$ の表面積は何 $cm^{2}$ ですか。円周率は $π$ を使って答えなさい。
$P$ $Q$
図は正確とは限りません

この技能を使う問題

難易度 2（教科書の章末問題レベル）
半径 $3 cm$ の金属の球が $8$ 個あります。これらをすべて溶かして、 $1$ 個の球を作りました。溶かす前後で金属の体積は変わらないものとします。できた球の表面積は何 $cm^{2}$ ですか。
$3 cm$
溶かす前の球（これが $8$ 個）