problemyriad

技能一覧 › 中学数学 方程式

連立方程式の文章題

個数と代金、昨年と今年の増減（%）、速さと道のりなどの場面で、2 つの数量を とおいて連立方程式を立てて解き、問われた数量を答えられる

前提

この技能までの道筋（21 技能）
算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）
  1. 小数の四則計算 （算数 計算と数のきまり）
  2. 分数のたし算・ひき算 （算数 計算と数のきまり）
  3. 分数のかけ算・わり算 （算数 計算と数のきまり）
  4. 小数と分数のまじった計算 （算数 計算と数のきまり）
  5. 逆算（□ を求める） （算数 計算と数のきまり）
  6. 正負の数の加法・減法 （中学数学 数と式）
  7. 四則の混じった計算の順序 （算数 計算と数のきまり）
  8. 正負の数の乗除・累乗と四則混合 （中学数学 数と式）
  9. 分配法則を使った計算のくふう （算数 計算と数のきまり）
  10. 文字式の計算（同類項・分配法則） （中学数学 数と式）
  11. 1 次方程式の解き方 （中学数学 方程式）
  12. 連立方程式の解き方（加減法・代入法） （中学数学 方程式）
  13. 差集め算 （算数 いろいろな文章題）
  14. 過不足算 （算数 いろいろな文章題）
  15. 年齢算（差が変わらないことを使う） （算数 いろいろな文章題）
  16. 速さ・時間・道のりの関係 （算数 速さ）
  17. 割合の基本（もとにする量・くらべる量） （算数 割合と比）
  18. 百分率と歩合 （算数 割合と比）
  19. 1 次方程式の文章題 （中学数学 方程式）
  20. つるかめ算 （算数 いろいろな文章題）
  21. 部分ごとの割合の増減 （算数 割合と比）

説明

個数と代金、昨年と今年の人数の増減、速さと道のりなど、わからない数量が 2 つある文章題を、2 つの数量を とおいて連立方程式で解けるようになります。わからないものを 1 つだけ文字にする 1 次方程式よりも、文章の関係をそのまま式に書けるので、式が立てやすくなります。つるかめ算や割合の問題を、決まった手順で解けるのが利点です。

なぜそうしてよいのか

わからない数量が 2 つあるとき、その 2 つを とおくと、文章の中にある「等しい関係」を 1 つずつそのまま式にできます。たとえば「りんごとなしを合わせて 12 個」は 、「代金の合計が 1160 円」は です。わからない文字が 2 つなので、等しい関係も 2 つ見つければ、加減法や代入法で両方の値が決まります。

これは、1 次方程式の文章題で を のように で表していた作業を、あとから代入法でまとめて行っているのと同じです。また、つるかめ算で「全部りんごだったら」と考えて差を調べる作業は、加減法で 1 つの文字を消す計算にあたります。

連立方程式の解は式の上での答えなので、最後に「個数なら 0 以上の整数か」「人数として意味があるか」など、問題に合っているかを確かめます。

手順

  1. 求めたい 2 つの数量を決め、それぞれ とおく（単位も書いておく）

  2. 文章から「合計」「代金」「道のり」など等しい関係を 2 つ見つけ、それぞれ の式にする（割合は 、速さは 道のり＝速さ×時間 を使う）

  3. 2 つの式を連立方程式にし、係数が分数・小数なら両辺を整数倍して整理する

  4. 加減法または代入法で を求める

  5. 求めた値が問題の条件に合うか（個数なら 0 以上の整数か、など）を確かめ、問われた数量を答える

例題

1 個 80 円のりんごと 1 個 120 円のなしを合わせて 12 個買ったところ、代金の合計は 1160 円であった。買ったりんごの個数を求めよ。

例題の解答

手順 1: りんごを 個、なしを 個買ったとする。

手順 2: 個数の合計から …①、代金の合計から …②

手順 3: ②の両辺を 40 でわると …②'

手順 4: ①より 。これを②'に代入して 、、、。①より 。

手順 5: はどちらも 0 以上の整数で、代金は （円）となり条件に合う。

よって、りんごは 7 個。

答え:

よくある誤り

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題