方程式の問題

ある店では、1 個 $200$ 円の焼き菓子が 1 日に $600$ 個売れている。この焼き菓子の 1 個の値段を $x$ 円値上げすると、1 日に売れる個数は $2x$ 個減ることがわかっている。値上げしたところ、1 日の売り上げの合計が $124200$ 円になり、1 日に売れた個数は $500$ 個より多かった。値上げした後の焼き菓子 1 個の値段は何円か求めよ。ただし、$x$ は正の整数とする。

$x$ についての 2 次方程式 $x^2+ax+b=0$ の 2 つの解は、2 次方程式 $x^2-2x-15=0$ の 2 つの解にそれぞれ $2$ を加えた数である。定数 $a,b$ の値を求めよ。答えは $(a,b)$ の組で、この順に書け。

一定の速さで走る列車がある。この列車が長さ $900\text{m}$ の鉄橋を渡るとき、列車の先頭が鉄橋に入ってから列車の最後尾が鉄橋を出るまでに $45$ 秒かかった。また、同じ速さで長さ $2100\text{m}$ のトンネルを通過するとき、列車全体がトンネルの中に入っていて外から見えなかった時間は $75$ 秒であった。この列車の長さは何 $\text{m}$ か求めよ。

原価が $900$ 円の品物に、原価の $x\%$ の利益を見込んで定価をつけた。しかし売れなかったので、定価の $x\%$ 引きで売ったところ、原価より $36$ 円安い値段で売れた。$x$ の値を求めよ。ただし、$x$ は正の数とする。

A 地点から峠 P を越えて B 地点まで行く山道がある。A 地点から峠 P までは上り坂、峠 P から B 地点までは下り坂である。この道を、上り坂は時速 $3\text{km}$、下り坂は時速 $5\text{km}$ で歩くと、A 地点から B 地点まで行くのに $2$ 時間 $28$ 分かかり、同じ道を B 地点から A 地点までもどるのに $2$ 時間 $20$ 分かかる。A 地点から峠 P までの道のりは何 $\text{km}$ か求めよ。