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技能一覧 › 算数 割合と比

部分ごとの割合の増減

男子と女子のように 2 つの部分がそれぞれ別の割合で増減するとき、面積図やつるかめ算の考え方で、全体の増減からそれぞれの部分の量を求められる

前提

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算数中学高校大学大学院

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  1. 小数の四則計算 （算数 計算と数のきまり）
  2. 割合の基本（もとにする量・くらべる量） （算数 割合と比）
  3. 百分率と歩合 （算数 割合と比）
  4. つるかめ算 （算数 いろいろな文章題）

説明

「昨年の生徒数は男女合わせて 500 人で、今年は男子が 6 % ふえ、女子が 4 % へったので、全体では 10 人ふえた」のように、2 つの部分がそれぞれ別の割合でふえたりへったりするとき、全体の増減からそれぞれの部分の量を求められるようになります。「1 人あたりの増減」を割合で考えると、つるかめ算と同じ形になるのがポイントです。

なぜそうしてよいのか

男子が 6 % ふえるということは、昨年の男子 1 人あたり 0.06 人ずつふえたと考えられます。同じように、女子が 4 % へるということは、昨年の女子 1 人あたり 0.04 人ずつへったと考えられます。すると、この問題は「1 個 0.06 のふえるものと 1 個 0.04 のへるものを合わせて 500 個集めたら、全体で 10 ふえた」という、つるかめ算と同じ形になります。

つるかめ算と同じく、「全員が男子だったら」と仮定します。そのとき全体のふえ方は 人です。実際は 10 人しかふえていません。男子 1 人を女子 1 人に入れかえると、ふえる 0.06 がなくなったうえに 0.04 へるので、全体のふえ方は 人ずつ小さくなります。だから、女子の人数は（仮定とのちがい）÷ 0.1 で求められます。

面積図で考えることもできます。横に昨年の人数、たてに 1 人あたりの増減の割合をとると、長方形の面積が増減した人数になります。注意するのは、割合のもとにする量が「昨年の男子」「昨年の女子」のように変化する前の量だということです。

手順

  1. 百分率や歩合を小数の割合になおし、それぞれの部分の「1 あたりの増減」を決める。例: 男子 6 % 増 → 1 人あたり 0.06 人ふえる、女子 4 % 減 → 1 人あたり 0.04 人へる。

  2. 全体が一方の部分だけだったと仮定して、そのときの全体の増減を求める。例: 全員男子なら 人ふえる。

  3. 仮定した増減と実際の増減のちがいを求める。例: 人。

  4. 1 人入れかえたときの増減の変わり方を求める。一方がふえて一方がへるなら割合をたし、両方ふえる（両方へる）なら割合をひく。例: 。

  5. ちがいを、1 人入れかえたときの変わり方でわって、入れかえたほうの量を求め、全体からひいてもう一方を求める。例: 女子 人、男子 人。

例題

ある学校の昨年の生徒数は、男子と女子を合わせて 500 人でした。今年は、昨年にくらべて男子が 6 % ふえ、女子が 4 % へったので、全体では 10 人ふえました。昨年の男子の人数は何人ですか。

例題の解答

手順 1: 6 % ＝ 0.06、4 % ＝ 0.04 です。昨年の男子 1 人あたり 0.06 人ふえ、昨年の女子 1 人あたり 0.04 人へったと考えます。

手順 2: 昨年の 500 人が全員男子だったと仮定すると、全体は 人ふえます。

手順 3: 実際は 10 人ふえたので、ちがいは 人です。

手順 4: 男子 1 人を女子 1 人に入れかえると、0.06 人ふえる分がなくなり、さらに 0.04 人へるので、全体のふえ方は 人小さくなります。

手順 5: 昨年の女子は 人、昨年の男子は 人です。

確かめ: 男子のふえた人数は 人、女子のへった人数は 人で、全体は 人ふえています。

よって、昨年の男子は 300 人です。

答え:

よくある誤り

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること