割合と比の問題

男子と女子で増えた割合がちがうので、つるかめ算の考え方を使います。

男子 $1$ 人あたりでは $0.1$ 人分、女子 $1$ 人あたりでは $0.05$ 人分増えたと考えます（$10$ % $=0.1$、$5$ % $=0.05$）。

全員が女子だったと仮定する
昨年の $500$ 人が全員女子だったとすると、増える人数は
$$500\times 0.05=25\text{（人）}$$
です。

実際との差を求める
実際には $37$ 人増えたので、差は
$$37-25=12\text{（人）}$$
です。

1 人あたりの差でわる
女子 $1$ 人を男子 $1$ 人に入れかえるごとに、増える人数は
$$0.1-0.05=0.05\text{（人）}$$
ずつ多くなります。よって、昨年の男子の人数は
$$12÷0.05=240\text{（人）}$$
です。

確かめると、昨年の女子は $500-240=260$ 人で、増えた人数は男子 $240\times 0.1=24$ 人、女子 $260\times 0.05=13$ 人、合わせて $24+13=37$ 人となり、条件に合っています。

したがって、昨年の男子の人数は $240$ 人です。

全員が 5 % 増えたとすると、増えた人数は $500\times 0.05=25$ 人。実際は 37 人なので、差の $37-25=12$ 人は、男子が 10 % 増えた（5 % より 5 % 多く増えた）ぶん。男子の $0.10-0.05=0.05$ が 12 人にあたるので、男子は $12÷0.05=240$ 人。
検算：男子 240 人の 10 % は 24 人、女子 $500-240=260$ 人の 5 % は 13 人。$24+13=37$ 人で一致。