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数と式の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル中学数学数と式

$x = 1.75$ 、 $y = 0.25$ のとき、次の式の値を求めなさい。 $x^{2} + 2 x y - 3 y^{2}$

この問題で使うもの

式の値（代入）（説明と入口の問題）
因数分解（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（11 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

すぐに代入せず、式を因数分解してから代入すると計算が楽になります。

ヒント 2

$x^{2} + 2 x y - 3 y^{2}$ は、積が $- 3 y^{2}$ 、和が $2 y$ になる 2 つの式を見つけて因数分解できます。

ヒント 3

$x^{2} + 2 x y - 3 y^{2} = (x + 3 y) (x - y)$ です。 $x + 3 y$ と $x - y$ の値をそれぞれ求めましょう。

答えと解説

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\frac{15}{4}

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そのまま代入すると計算がたいへんなので、先に因数分解します。積が $- 3 y^{2}$ 、和が $2 y$ になる 2 つの式は $3 y$ と $- y$ なので、
$x^{2} + 2 x y - 3 y^{2} = (x + 3 y) (x - y)$
ここで
$x + 3 y = 1.75 + 3 \times 0.25 = 1.75 + 0.75 = 2.5 = \frac{5}{2}$
$x - y = 1.75 - 0.25 = 1.5 = \frac{3}{2}$
よって
$x^{2} + 2 x y - 3 y^{2} = \frac{5}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{15}{4}$
（確かめ: $1.7 5^{2} + 2 \times 1.75 \times 0.25 - 3 \times 0.2 5^{2} = 3.0625 + 0.875 - 0.1875 = 3.75 = \frac{15}{4}$ ）

別解

$x^{2} + 2 x y - 3 y^{2} = (x + 3 y) (x - y)$ と因数分解する。
$x + 3 y = 1.75 + 0.75 = 2.5$ 、 $x - y = 1.75 - 0.25 = 1.5$ 。
よって $2.5 \times 1.5 = 3.75 = \frac{15}{4}$ 。
検算: $x^{2} = 3.0625$ 、 $2 x y = 0.875$ 、 $3 y^{2} = 0.1875$ より $3.0625 + 0.875 - 0.1875 = 3.75$ 。

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