数と式の問題

$x$, $y$ をそのまま代入して 2 乗を計算するより、先に式を因数分解してから代入するほうが楽です。

式を因数分解する

$$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$$

$x+y$ と $x-y$ を求める

$$x+y=(\sqrt{5}+\sqrt{2})+(\sqrt{5}-\sqrt{2})=2\sqrt{5}$$

$$x-y=(\sqrt{5}+\sqrt{2})-(\sqrt{5}-\sqrt{2})=\sqrt{5}+\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$$

代入して計算する

$$x^2-y^2=(x+y)(x-y)=2\sqrt{5}\times 2\sqrt{2}=4\sqrt{10}$$

（確かめ）$x^2=(\sqrt{5}+\sqrt{2}{)}^2=7+2\sqrt{10}$、$y^2=(\sqrt{5}-\sqrt{2}{)}^2=7-2\sqrt{10}$ なので、$x^2-y^2=4\sqrt{10}$ となり一致します。

よって、答えは $4\sqrt{10}$ です。

$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$ と因数分解します。$x+y=(\sqrt{5}+\sqrt{2})+(\sqrt{5}-\sqrt{2})=2\sqrt{5}$、$x-y=(\sqrt{5}+\sqrt{2})-(\sqrt{5}-\sqrt{2})=2\sqrt{2}$ です。よって $2\sqrt{5}\times 2\sqrt{2}=4\sqrt{10}$ です。検算：$x^2=7+2\sqrt{10}$、$y^2=7-2\sqrt{10}$ なので $x^2-y^2=4\sqrt{10}$ で一致します。