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数と式の問題

難易度 4公立高校入試の難問・私立高校入試レベル中学数学数と式

次の式を因数分解しなさい。 $a^{2} - 2 ab + b^{2} - 4 a + 4 b + 3$

この問題で使うもの

因数分解（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（10 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$a^{2} - 2 ab + b^{2}$ と $- 4 a + 4 b$ をそれぞれ見て、共通するかたまりを探しましょう。

ヒント 2

$a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}$ 、 $- 4 a + 4 b = - 4 (a - b)$ です。 $a - b = M$ とおいてみましょう。

ヒント 3

式は $M^{2} - 4 M + 3$ になります。これを因数分解してから $M$ をもとにもどしましょう。

答えと解説

答えを見る

(a - b - 1) (a - b - 3)

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解説を読む

項を組み合わせると、 $a - b$ のかたまりが見えてきます。
$a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}$
$- 4 a + 4 b = - 4 (a - b)$
なので
$a^{2} - 2 ab + b^{2} - 4 a + 4 b + 3 = (a - b)^{2} - 4 (a - b) + 3$
ここで $a - b = M$ とおくと
$M^{2} - 4 M + 3$
積が $3$ 、和が $- 4$ になる 2 つの数は $- 1$ と $- 3$ なので
$M^{2} - 4 M + 3 = (M - 1) (M - 3)$
$M$ をもとにもどすと
$(a - b - 1) (a - b - 3)$
（確かめ: $(a - b - 1) (a - b - 3) = (a - b)^{2} - 4 (a - b) + 3 = a^{2} - 2 ab + b^{2} - 4 a + 4 b + 3$ ）

別解

$a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}$ 、 $- 4 a + 4 b = - 4 (a - b)$ なので、 $a - b = X$ とおくと
与式 $= X^{2} - 4 X + 3 = (X - 1) (X - 3)$ 。
$X = a - b$ をもどして $(a - b - 1) (a - b - 3)$ 。
検算: $a = 5, b = 0$ のとき与式 $= 25 - 20 + 3 = 8$ 、 $(5 - 1) (5 - 3) = 8$ 。

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