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数と式の問題

難易度 4公立高校入試の難問・私立高校入試レベル中学数学数と式

次の式を因数分解せよ。 $(x^{2} + 3 x)^{2} - 2 (x^{2} + 3 x) - 8$

この問題で使うもの

因数分解（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（10 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

同じ式 $x^{2} + 3 x$ をひとまとまりと見て、 $M$ などの文字におきかえましょう。

ヒント 2

$M^{2} - 2 M - 8 = (M - 4) (M + 2)$ と因数分解できます。

ヒント 3

$M$ をもとにもどすと $(x^{2} + 3 x - 4) (x^{2} + 3 x + 2)$ です。それぞれのかっこの中をさらに因数分解できるか調べましょう。

答えと解説

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(x - 1) (x + 1) (x + 2) (x + 4)

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解説を読む

$x^{2} + 3 x$ が $2$ か所に出てくるので、 $x^{2} + 3 x = M$ とおきます。
$M^{2} - 2 M - 8$
和が $- 2$ 、積が $- 8$ になる $2$ 数は $- 4$ と $2$ なので、
$M^{2} - 2 M - 8 = (M - 4) (M + 2)$
$M$ をもとにもどすと、
$(x^{2} + 3 x - 4) (x^{2} + 3 x + 2)$
それぞれをさらに因数分解します。和が $3$ 、積が $- 4$ になる $2$ 数は $4$ と $- 1$ なので $x^{2} + 3 x - 4 = (x + 4) (x - 1)$ 。和が $3$ 、積が $2$ になる $2$ 数は $1$ と $2$ なので $x^{2} + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2)$ 。

よって、 $(x - 1) (x + 1) (x + 2) (x + 4)$

別解

$x^{2} + 3 x = t$ とおくと、与式は $t^{2} - 2 t - 8 = (t - 4) (t + 2)$ 。
$t$ をもとにもどすと $(x^{2} + 3 x - 4) (x^{2} + 3 x + 2)$ 。
さらに $x^{2} + 3 x - 4 = (x + 4) (x - 1)$ 、 $x^{2} + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2)$ と因数分解できるので、
与式 $= (x + 4) (x - 1) (x + 1) (x + 2)$ 。
検算: $x = 1$ のとき、与式は $4^{2} - 2 \cdot 4 - 8 = 0$ で、因数分解した式も $(x - 1)$ を含むので $0$ 。 $x = 2$ のとき、与式は $1 0^{2} - 2 \cdot 10 - 8 = 72$ 、因数分解した式は $6 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 4 = 72$ で一致する。

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