整数の性質の問題

$40!=1\times 2\times 3\times \cdots \times 40$ に素因数 $3$ がいくつ含まれるかを数えればよい。以下、実数 $x$ を超えない最大の整数を $\left[x\right]$ で表す。

$1$ から $40$ までの整数のうち

• $3$ の倍数は、それぞれ $3$ を少なくとも $1$ 個含む。その個数は $\left[\frac{40}{3}\right]=13$ 個
• $3^2=9$ の倍数は、$3$ をもう $1$ 個（合計 $2$ 個以上）含む。その個数は $\left[\frac{40}{9}\right]=4$ 個
• $3^3=27$ の倍数は、$3$ をさらにもう $1$ 個（合計 $3$ 個以上）含む。その個数は $\left[\frac{40}{27}\right]=1$ 個
• $3^4=81>40$ なので、$81$ の倍数は $1$ から $40$ までに $1$ 個もない

このように数えると、各整数に含まれる $3$ の個数がちょうど $1$ 回ずつ数えられる（たとえば $27=3^3$ は、$3$ の倍数・$9$ の倍数・$27$ の倍数として $3$ 回数えられる）。したがって、$40!$ に含まれる素因数 $3$ の個数は
$$\left[\frac{40}{3}\right]+\left[\frac{40}{9}\right]+\left[\frac{40}{27}\right]=13+4+1=18$$
である。

よって、求める $k$ の最大値は $18$ である。

$40!$ に含まれる素因数 $3$ の個数を数える。ルジャンドルの公式の考え方より、$1$ から $40$ までの整数のうち $3$ の倍数、$9$ の倍数、$27$ の倍数の個数をそれぞれ数えて足す。

$\lfloor 40/3\rfloor =13$、$\lfloor 40/9\rfloor =4$、$\lfloor 40/27\rfloor =1$、$\lfloor 40/81\rfloor =0$。

よって $13+4+1=18$。

検算：$3$ の倍数 $3,6,\dots ,39$ は $13$ 個で、各々に因数 $3$ が $1$ 個ずつある。そのうち $9,18,27,36$ は因数 $3$ をさらに $1$ 個ずつ持ち、$27$ はもう $1$ 個持つ。合計は $13+4+1=18$ で、一致する。

したがって $k$ の最大値は $18$。