整数の性質の問題

$40!$ を素因数分解したときの素因数 $3$ の個数を数えます。$1$ から $40$ までの整数それぞれに含まれる $3$ の個数を足し合わせればよく、これは「$3$ の倍数の個数」「$3^2=9$ の倍数の個数」「$3^3=27$ の倍数の個数」…を足すことで求められます。

・$3$ の倍数は $3,6,\dots ,39$ で、$\left[\frac{40}{3}\right]=13$ 個あります。これで、$3$ の倍数がもつ $3$ を $1$ 個ずつ数えたことになります。

・$9$ の倍数は $9,18,27,36$ で、$\left[\frac{40}{9}\right]=4$ 個あります。これらは $3$ を $2$ 個以上もつので、$2$ 個目の $3$ をここで $1$ 個ずつ追加で数えます。

・$27$ の倍数は $27$ だけで、$\left[\frac{40}{27}\right]=1$ 個あります。$27=3^3$ の $3$ 個目の $3$ をここで数えます。

・$81$ の倍数は $40$ 以下にないので、$\left[\frac{40}{81}\right]=0$ 個です。

よって、$40!$ に含まれる素因数 $3$ の個数は
$$\left[\frac{40}{3}\right]+\left[\frac{40}{9}\right]+\left[\frac{40}{27}\right]=13+4+1=18$$
です。したがって $40!$ は $3^{18}$ で割り切れ、$3^{19}$ では割り切れないので、求める $k$ の最大値は $18$ です。

（ここで $[x]$ は $x$ を超えない最大の整数を表します。）

$40!$ に含まれる素因数 $3$ の個数を数える。$\lfloor 40/3\rfloor =13$, $\lfloor 40/9\rfloor =4$, $\lfloor 40/27\rfloor =1$, $\lfloor 40/81\rfloor =0$。したがって $k=13+4+1=18$。
検算：$3$ の倍数は $3,6,\dots ,39$ の $13$ 個。そのうち $9$ の倍数は $9,18,27,36$ の $4$ 個で、それぞれ $3$ を $1$ 個ずつ追加で含む。$27$ は $3^3$ なのでさらに $1$ 個追加。合計 $13+4+1=18$。