整数の性質の問題

$50!=1\times 2\times 3\times \cdots \times 50$ に含まれる素因数 $3$ の個数を数えます。

$1$ から $50$ までの整数のうち、

• $3$ の倍数は、$3$ を少なくとも $1$ 個もつ
• $3^2=9$ の倍数は、$3$ を少なくとも $2$ 個もつ
• $3^3=27$ の倍数は、$3$ を少なくとも $3$ 個もつ

そこで、$3$ の倍数、$9$ の倍数、$27$ の倍数の個数を足せば、各数がもつ $3$ の個数をちょうど数えたことになります。たとえば $27$ は $3$ の倍数、$9$ の倍数、$27$ の倍数として $3$ 回数えられ、$27=3^3$ に含まれる $3$ の個数と一致します。

$[x]$ で $x$ を超えない最大の整数を表すと、

$3$ の倍数の個数は $\left[\frac{50}{3}\right]=16$

$9$ の倍数の個数は $\left[\frac{50}{9}\right]=5$

$27$ の倍数の個数は $\left[\frac{50}{27}\right]=1$

です。$3^4=81$ は $50$ より大きいので、$81$ の倍数は $1$ から $50$ までに含まれません。

よって、$50!$ に含まれる素因数 $3$ の個数は
$$16+5+1=22$$
です。したがって、求める $k$ の最大値は $22$ です。

$50!$ に含まれる素因数 $3$ の個数は、ルジャンドルの公式より $\lfloor \frac{50}{3}\rfloor +\lfloor \frac{50}{9}\rfloor +\lfloor \frac{50}{27}\rfloor =16+5+1=22$ である。$81>50$ なのでこれ以上はない。
検算：$3$ の倍数は $16$ 個、$9$ の倍数は $5$ 個、$27$ の倍数は $1$ 個で、それぞれ追加で $1$ 個ずつ数えると $16+5+1=22$ となり一致する。
よって $k$ の最大値は $22$。