整数の性質の問題

$N$ を $10$ 進法で表す。

$$N=ab{c}_{(6)}=36a+6b+c,N=cb{a}_{(9)}=81c+9b+a$$

となる。

数字の範囲

$a,b,c$ は $6$ 進法の数字なので $0$ 以上 $5$ 以下である。$6$ 進法でも $9$ 進法でも $3$ 桁なので、最高位の数字は $0$ ではない。よって

$$1\leqq a\leqq 5,0\leqq b\leqq 5,1\leqq c\leqq 5$$

である。これらはすべて $8$ 以下なので、$9$ 進法の数字としての条件も満たす。

等式を整理する

$36a+6b+c=81c+9b+a$ より

$$35a=80c+3b(1)$$

$b\geqq 0$ なので $35a\geqq 80c\geqq 80$ となり、$a\geqq 3$ である。

場合分け

• $a=3$ のとき、$35a=105$ である。$105\geqq 80c$ より $c=1$。このとき $3b=105-80=25$ となり、$b$ は整数にならないので不適。
• $a=4$ のとき、$35a=140$ である。$140\geqq 80c$ より $c=1$。このとき $3b=140-80=60$ より $b=20$ となり、$b\leqq 5$ に反するので不適。
• $a=5$ のとき、$35a=175$ である。$175\geqq 80c$ より $c=1$ または $c=2$。
• $c=1$ のとき $3b=175-80=95$ となり、$b$ は整数にならないので不適。
• $c=2$ のとき $3b=175-160=15$ より $b=5$ となり、条件を満たす。

よって $a=5,b=5,c=2$ である。

確認

$$N=36\cdot 5+6\cdot 5+2=180+30+2=212$$

$$81\cdot 2+9\cdot 5+5=162+45+5=212$$

となり、確かに一致する。

したがって $N=212$ である。

$N=36a+6b+c$（6進法）、$N=81c+9b+a$（9進法）なので、$36a+6b+c=81c+9b+a$ より $35a=3b+80c$ となる。

変形すると $5(7a-16c)=3b$。右辺は5の倍数で、$0\le b\le 5$ なので $b=0$ または $b=5$。

• $b=0$ のとき $7a=16c$。$1\le a\le 5$ では解がない。
• $b=5$ のとき $7a-16c=3$。$a=5$ とすると $16c=32$ より $c=2$。他の $a=1,\dots ,4$ では $c$ が整数にならない。

よって $a=5,b=5,c=2$。

$N=36\cdot 5+6\cdot 5+2=212$。

検算：$2\cdot 81+5\cdot 9+5=162+45+5=212$ で一致する。