整数の性質の問題

$ab{c}_{(5)}$ は $5$ 進法の $3$ 桁の数なので、$a,b,c$ は $0$ 以上 $4$ 以下の整数で、最高位の $a$ は $a\geqq 1$ です。また $cb{a}_{(9)}$ も $9$ 進法の $3$ 桁の数なので、最高位の $c$ は $c\geqq 1$ です。したがって
$$1\leqq a\leqq 4,0\leqq b\leqq 4,1\leqq c\leqq 4$$
です。

それぞれを $10$ 進法で表すと
$$ab{c}_{(5)}=25a+5b+c,cb{a}_{(9)}=81c+9b+a$$
です。これらはどちらも $N$ に等しいので
$$25a+5b+c=81c+9b+a$$
が成り立ちます。移項すると
$$24a=4b+80c$$
となり、両辺を $4$ で割ると
$$6a=b+20c(1)$$
が得られます。

$a\leqq 4$ より、$(1)$ の左辺は $6a\leqq 24$ です。

• $c\geqq 2$ のとき、右辺は $b+20c\geqq 40$ となり、$(1)$ は成り立ちません。
• $c=1$ のとき、$(1)$ は $6a=b+20$ となります。$0\leqq b\leqq 4$ より $20\leqq 6a\leqq 24$ です。これを満たす整数 $a$ は $a=4$ だけで、このとき $b=24-20=4$ です。

よって $a=4,b=4,c=1$ であり、
$$N=25\cdot 4+5\cdot 4+1=100+20+1=121$$
です。

(確認)$9$ 進法の $144_{(9)}$ を $10$ 進法に直すと $81\cdot 1+9\cdot 4+4=121$ となり、一致します。

答えは $121$ です。

$N=25a+5b+c$（5進法）、$N=81c+9b+a$（9進法で $cb{a}_{(9)}$）より、$25a+5b+c=81c+9b+a$。整理すると $24a-4b-80c=0$、すなわち $b=6a-20c$。
5進法の各位の数字なので $1\le a\le 4$、$0\le b\le 4$、$0\le c\le 4$。9進法で $cb{a}_{(9)}$ が3桁なので $c\ge 1$。
$c\ge 2$ のとき $b=6a-20c\le 24-40<0$ となり不適。よって $c=1$ で $b=6a-20$。$0\le b\le 4$ より $20\le 6a\le 24$、$a$ は整数なので $a=4$、$b=4$。
よって $N=ab{c}_{(5)}=444\dots$ ではなく $441_{(5)}=25\cdot 4+5\cdot 4+1=121$。
検算：$cb{a}_{(9)}=144_{(9)}=81+36+4=121$ で一致する。