極限の問題

$x_n$ を求める

解の公式より $x=n\pm \sqrt{n^2+3n}$。2 解の積は $-3n<0$ なので正の解はただ 1 つで、
$$x_n=n+\sqrt{n^2+3n}$$

式を変形する

$$2x_n-4n-3=2\sqrt{n^2+3n}-(2n+3)$$
分子の有理化をすると
$$2\sqrt{n^2+3n}-(2n+3)=\frac{4(n^2+3n)-(2n+3{)}^2}{2\sqrt{n^2+3n}+2n+3}=\frac{4n^2+12n-4n^2-12n-9}{2\sqrt{n^2+3n}+2n+3}=\frac{-9}{2\sqrt{n^2+3n}+2n+3}$$

極限を求める

$$n\left(2x_n-4n-3\right)=\frac{-9n}{2\sqrt{n^2+3n}+2n+3}$$
分母・分子を $n(>0)$ で割ると
$$=\frac{-9}{2\sqrt{1+\frac{3}{n}}+2+\frac{3}{n}}$$
$n\to \infty$ のとき $\frac{3}{n}\to 0$ なので
$$\underset{n\to \infty }{\lim }n\left(2x_n-4n-3\right)=\frac{-9}{2\cdot 1+2+0}=-\frac{9}{4}$$

$x^2-2nx-3n=0$ より $x=n\pm \sqrt{n^2+3n}$。正の解は $x_n=n+\sqrt{n^2+3n}$（$n>0$ なので $n-\sqrt{n^2+3n}<0$）。

$s=\sqrt{n^2+3n}$ とおくと $2x_n-4n-3=2s-(2n+3)$。有理化して
$$2s-(2n+3)=\frac{4s^2-(2n+3{)}^2}{2s+2n+3}=\frac{4n^2+12n-4n^2-12n-9}{2s+2n+3}=\frac{-9}{2s+2n+3}.$$
よって
$$n(2x_n-4n-3)=\frac{-9n}{2\sqrt{n^2+3n}+2n+3}=\frac{-9}{2\sqrt{1+3/n}+2+3/n}\to \frac{-9}{4}.$$

検算: $n=100$ のとき $s=\sqrt{10300}\approx 101.4889$、$2s-203\approx -0.02225$、$n$ 倍して約 $-2.225$。$-2.25$ に近い。