反応速度の問題

難易度 3共通テストレベル高校化学反応速度

ある反応の速度定数 $k$ は、アレニウスの式
$k = A e^{- \frac{E _{a}}{R T}}$
にしたがう。ここで $A$ は定数、 $E_{a}$ は活性化エネルギー、 $R$ は気体定数、 $T$ は絶対温度である。

この反応を $300 K$ で行うとき、ある触媒を加えると、速度定数は触媒を加えないときの $64$ 倍になった。触媒を加えても定数 $A$ は変わらず、活性化エネルギーだけが小さくなるものとすると、触媒によって活性化エネルギーは何 kJ/mol 小さくなったか。有効数字 2 桁で答えよ。ただし、気体定数は $R = 8.3 J/(K \cdot mol)$ 、 $lo g_{e} 2 = 0.69$ とする。

この問題で使うもの

アレニウスの式と活性化エネルギー・触媒（説明と入口の問題）
対数の定義と性質（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（29 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

触媒がある場合とない場合の速度定数の比をとると、 $A$ が消えることを利用しよう。

ヒント 2

$\frac{k _{2}}{k _{1}} = e^{\frac{E _{1} - E _{2}}{R T}}$ より、 $lo g_{e} \frac{k _{2}}{k _{1}} = \frac{E _{1} - E _{2}}{R T}$ となる。

ヒント 3

$lo g_{e} 64 = 6 lo g_{e} 2 = 4.14$ なので、 $E_{1} - E_{2} = 8.3 \times 300 \times 4.14 J/mol$ を計算し、kJ/mol に直そう。

答えと解説

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1.0 \times 1 0^{1}

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解説を読む

触媒がないときの活性化エネルギーを $E_{1}$ 、速度定数を $k_{1}$ 、触媒があるときの活性化エネルギーを $E_{2}$ 、速度定数を $k_{2}$ とする。同じ温度 $T$ で $A$ も共通なので
$\frac{k _{2}}{k _{1}} = \frac{A e ^{- \frac{E _{2}}{R T}}}{A e ^{- \frac{E _{1}}{R T}}} = e^{\frac{E _{1} - E _{2}}{R T}}$
両辺の自然対数をとると
$lo g_{e} \frac{k _{2}}{k _{1}} = \frac{E _{1} - E _{2}}{R T}$

$\frac{k _{2}}{k _{1}} = 64 = 2^{6}$ なので
$lo g_{e} 64 = 6 lo g_{e} 2 = 6 \times 0.69 = 4.14$
よって
$E_{1} - E_{2} = R T lo g_{e} 64 = 8.3 \times 300 \times 4.14 ≒ 1.03 \times 1 0^{4} J/mol = 10.3 kJ/mol$
したがって、活性化エネルギーは有効数字 2 桁で $1.0 \times 10 kJ/mol$ 小さくなった。

別解

触媒なしの活性化エネルギーを $E_{a}$ 、触媒ありを $E_{a}^{'}$ とする。 $A$ は同じなので
$\frac{k ^{'}}{k} = \frac{e ^{- E_{a}^{'} / R T}}{e ^{- E_{a} / R T}} = e^{(E_{a} - E_{a}^{'}) / R T} = 64$ 。
両辺の自然対数をとると $\frac{E _{a} - E _{a}^{'}}{R T} = lo g_{e} 64 = 6 lo g_{e} 2 = 6 \times 0.69 = 4.14$ 。
よって $E_{a} - E_{a}^{'} = R T \times 4.14 = 8.3 \times 300 \times 4.14 = 10308.6$ J/mol $\approx 10.3$ kJ/mol。
有効数字 2 桁で $10$ kJ/mol（ $1.0 \times 1 0^{1}$ ）。
検算: $e^{10308.6/ (8.3 \times 300)} = e^{4.14} = 2^{6} = 64$ となり一致。

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