反応速度の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル高校化学反応速度

ある気体の分解反応の速度定数 $k$ は、絶対温度 $T$ に対してアレニウスの式
$k = A e^{- \frac{E _{a}}{R T}}$
にしたがう。ここで $A$ は温度によらない定数、 $E_{a}$ は活性化エネルギー、 $R$ は気体定数である。この反応の活性化エネルギーは $E_{a} = 55 kJ/mol$ で、温度によらず一定とする。

絶対温度 $300 K$ のときの速度定数を $k_{1}$ とする。速度定数が $4 k_{1}$ になる絶対温度は何 K か。有効数字 3 桁で答えよ。ただし、気体定数は $R = 8.3 J/(K \cdot mol)$ 、 $lo g_{e} 2 = 0.69$ とする。

この問題で使うもの

2 つの温度での速度定数と活性化エネルギー（説明と入口の問題）
対数の定義と性質（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（30 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

アレニウスの式の両辺の自然対数をとり、2 つの温度での式の差をとって $A$ を消去しよう。

ヒント 2

$lo g_{e} \frac{k _{2}}{k _{1}} = \frac{E _{a}}{R} (\frac{1}{T _{1}} - \frac{1}{T _{2}})$ と $lo g_{e} 4 = 2 lo g_{e} 2$ を使う。 $E_{a}$ の単位を J/mol にそろえることに注意しよう。

ヒント 3

$\frac{1}{300} - \frac{1}{T _{2}} = \frac{8.3 \times 1.38}{55 \times 1 0 ^{3}} ≒ 2.083 \times 1 0^{- 4}$ となる。ここから $\frac{1}{T _{2}}$ を求めよう。

答えと解説

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3.20 \times 1 0^{2}

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解説を読む

アレニウスの式の両辺の自然対数をとると
$lo g_{e} k = lo g_{e} A - \frac{E _{a}}{R T}$
となる。温度 $T_{1} = 300 K$ のときの速度定数を $k_{1}$ 、温度 $T_{2}$ のときの速度定数を $k_{2}$ とし、2 つの式の差をとると、 $A$ が消えて
$lo g_{e} \frac{k _{2}}{k _{1}} = \frac{E _{a}}{R} (\frac{1}{T _{1}} - \frac{1}{T _{2}})$
が得られる（ $A$ と $E_{a}$ が温度によらないので、この関係が使える）。

$k_{2} = 4 k_{1}$ なので、 $lo g_{e} 4 = 2 lo g_{e} 2 = 2 \times 0.69 = 1.38$ である。 $E_{a} = 55 \times 1 0^{3} J/mol$ を代入すると
$\frac{1}{300} - \frac{1}{T _{2}} = \frac{R lo g _{e} 4}{E _{a}} = \frac{8.3 \times 1.38}{55 \times 1 0 ^{3}} = \frac{11.454}{55000} ≒ 2.083 \times 1 0^{- 4} K^{- 1}$
よって
$\frac{1}{T _{2}} = 3.333 \times 1 0^{- 3} - 0.2083 \times 1 0^{- 3} = 3.125 \times 1 0^{- 3} K^{- 1}$
$T_{2} = \frac{1}{3.125 \times 1 0 ^{- 3}} ≒ 320 K$
したがって、有効数字 3 桁で $3.20 \times 1 0^{2} K$ である。

別解

$T_{1} = 300 K$ 、求める温度を $T_{2}$ とすると、 $k_{2} = 4 k_{1}$ 。
アレニウスの式より $\frac{k _{2}}{k _{1}} = exp {\frac{E _{a}}{R} (\frac{1}{T _{1}} - \frac{1}{T _{2}})}$ 。両辺の自然対数をとると
$lo g_{e} 4 = \frac{E _{a}}{R} (\frac{1}{T _{1}} - \frac{1}{T _{2}})$
$lo g_{e} 4 = 2 lo g_{e} 2 = 2 \times 0.69 = 1.38$ 、 $E_{a} = 55000 J/mol$ 、 $R = 8.3$ なので
$\frac{1}{T _{1}} - \frac{1}{T _{2}} = \frac{1.38 \times 8.3}{55000} = \frac{11.454}{55000} = 2.0825 \times 1 0^{- 4}$
$\frac{1}{T _{2}} = \frac{1}{300} - 2.0825 \times 1 0^{- 4} = 3.3333 \times 1 0^{- 3} - 0.20825 \times 1 0^{- 3} = 3.1251 \times 1 0^{- 3}$
$T_{2} = \frac{1}{3.1251 \times 1 0 ^{- 3}} \approx 319.99 K$ なので、有効数字 3 桁で $320 K$ 。
検算: $T_{2} = 320$ のとき $\frac{1}{300} - \frac{1}{320} = \frac{20}{96000} = 2.0833 \times 1 0^{- 4}$ 、 $\frac{55000}{8.3} \times 2.0833 \times 1 0^{- 4} = 1.380$ で $lo g_{e} 4 = 1.38$ と一致する。

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