ランベルト・ベールの法則

透過率と吸光度を換算し（ $A = - lo g_{10} T$ ）、 $A = ε c l$ からモル吸光係数・濃度・光路長を求められる（希釈を含む場合も）

前提

対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
モル濃度（高校化学物質量と化学反応式）

この技能までの道筋（16 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
原子・分子と化学式（中学理科化学分野の用語と知識）
原子量・分子量・式量（高校化学物質量と化学反応式）
物質量と質量・粒子の数（高校化学物質量と化学反応式）
モル濃度（高校化学物質量と化学反応式）

説明

溶液に光を通すと、溶質の分子が光の一部を吸収するので、出てくる光は弱くなります。ランベルト・ベールの法則は、その弱まり方を表す量である吸光度 $A$ が、溶質の濃度 $c$ と光が溶液中を進む距離（光路長） $l$ に比例すること、 $A = ε c l$ を表します。この技能では、透過率と吸光度を相互に換算し、この式からモル吸光係数 $ε$ ・濃度・光路長のどれかを求めます。分光光度計で溶液の濃度を決める定量分析の基本です。

なぜそうしてよいのか

入射光の強さを $I_{0}$ 、溶液を通り抜けた光の強さを $I$ とし、透過率を $T = \frac{I}{I _{0}}$ （ $0 < T \leq 1$ 、百分率なら $100 T %$ ）とします。溶液を薄い層に分けて考えると、同じ濃度の溶液では、どの層も入ってきた光の同じ割合を吸収します。例えば 1 層で光が $\frac{1}{2}$ になるなら、2 層では $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ 、3 層では $\frac{1}{8}$ と、層の数（光路長）に対して光の強さは掛け算で減っていきます。また、光を吸収するのは溶質の分子なので、濃度が 2 倍の溶液 1 層は、もとの溶液 2 層分と同じだけ光を弱めます。つまり光の弱まり方は、光が出会う分子の数に比例する $c l$ だけで決まり、 $T = 1 0^{- k c l}$ （ $k$ は物質と光の波長で決まる正の定数）の形に書けます。

この式の常用対数をとって符号を変えた量を吸光度と定義します。
$A = - lo g_{10} T = lo g_{10} \frac{I _{0}}{I}$
すると $A = k c l$ となり、 $A$ は $c$ にも $l$ にも比例します。比例定数を $ε$ と書き、モル吸光係数と呼びます。
$A = ε c l$
$c$ を $mol L^{- 1}$ 、 $l$ を $cm$ で表すと、 $A$ は単位のない数なので $ε$ の単位は $L mo l^{- 1} c m^{- 1}$ です。 $ε$ が大きい物質ほど、少量でも光をよく吸収します。透過率は掛け算で減るのに対し、吸光度は足し算で増える（光路長を 2 倍にすると $A$ も 2 倍）ので、計算には吸光度を使うのが便利です。

逆に吸光度から透過率に戻すときは $T = 1 0^{- A}$ です。例えば $A = 1$ なら $T = 0.1$ （10 %）、 $A = 2$ なら $T = 0.01$ （1 %）です。この法則は、溶液がうすく、溶質どうしが影響し合わない範囲で成り立ちます。

手順

与えられた量を確かめる。透過率が百分率なら小数に直す（ $T = \frac{% T}{100}$ ）
透過率から吸光度を求める: $A = - lo g_{10} T$ （逆に吸光度から透過率は $T = 1 0^{- A}$ ）
$A = ε c l$ を求めたい量について解く: $ε = \frac{A}{c l}$ 、 $c = \frac{A}{εl}$ 、 $l = \frac{A}{ε c}$
単位をそろえて代入する（ $c$ は $mol L^{- 1}$ 、 $l$ は $cm$ 、 $ε$ は $L mo l^{- 1} c m^{- 1}$ ）
希釈した溶液を測った場合は、求めた濃度に希釈倍率を掛けてもとの溶液の濃度に戻す（ $c_{原液} = c_{測定} \times \frac{V _{希釈後}}{V _{原液}}$ ）

例題

ある色素の水溶液を光路長 $1.00 cm$ のセルに入れ、波長 $500 nm$ の光で測定したところ、透過率は $10.0 %$ であった。この色素の波長 $500 nm$ におけるモル吸光係数を $2.50 \times 1 0^{3} L mo l^{- 1} c m^{- 1}$ とするとき、この水溶液中の色素のモル濃度は何 $mol L^{- 1}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

例題の解答

【手順 1】透過率を小数に直すと $T = \frac{10.0}{100} = 0.100$ 。

【手順 2】
$A = - lo g_{10} 0.100 = - lo g_{10} 1 0^{- 1} = 1.00$

【手順 3】濃度を求めたいので $c = \frac{A}{εl}$ 。

【手順 4】単位はそろっているので代入して
$c = \frac{1.00}{( 2.50 \times 1 0 ^{3} L mo l ^{- 1} c m ^{- 1} ) \times ( 1.00 cm )} = 4.00 \times 1 0^{- 4} mol L^{- 1}$

【手順 5】希釈していないので、これが答え。

よって $4.00 \times 1 0^{- 4} mol L^{- 1}$ 。

答え: $4.00 \times 1 0^{- 4}$

よくある誤り

透過率を百分率のまま対数に入れる誤り。 $T = 10.0 %$ で $A = - lo g_{10} 10.0 = - 1$ とすると吸光度が負になる。正しくは $T = 0.100$ として $A = - lo g_{10} 0.100 = 1.00$
吸光度が透過率に比例する、あるいは透過率が濃度に比例して減ると考える誤り。比例するのは $A$ と $c$ で、濃度を 2 倍にすると $A$ は 2 倍、透過率は $T^{2}$ になる。例えば $T = 0.100$ の溶液を 2 倍の濃度にすると $T = 0.0100$ であって $0.0500$ ではない
常用対数の代わりに自然対数を使う誤り。 $A = - lo g_{10} T$ であり、 $- lo g T$ （自然対数）とすると $T = 0.100$ で $2.30$ となり、 $lo g_{10}$ で求めた $1.00$ の約 $2.30$ 倍になってしまう
希釈した溶液の測定値をそのまま原液の濃度とする、または希釈倍率で割ってしまう誤り。原液を $10$ 倍に希釈して $c = 4.00 \times 1 0^{- 4} mol L^{- 1}$ と求めたなら、原液は $4.00 \times 1 0^{- 4} \times 10 = 4.00 \times 1 0^{- 3} mol L^{- 1}$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある色素の水溶液（モル濃度 $2.00 \times 1 0^{- 5} mol L^{- 1}$ ）を光路長 $1.00 cm$ のセルに入れ、波長 $520 nm$ の光の透過率を測ったところ、 $T = 0.100$ （ $10.0 %$ ）であった。この波長での吸光にはランベルト・ベールの法則 $A = ε c l$ が成り立ち、溶媒による吸収は無視できるものとする。ただし吸光度は $A = - lo g_{10} T$ で定める。この色素のこの波長でのモル吸光係数 $ε$ は何 $L mo l^{- 1} c m^{- 1}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

ランベルト・ベールの法則

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題