一次反応で生じる物質の量と気体の圧力

一次反応で反応した物質の量を半減期から求め、反応式の係数の比から生じた気体の物質量・体積や、容積一定の容器内の全圧の変化を求められる。全圧の条件から残っている割合を求め、対数を使って経過時間を求めることもできる

前提

一次反応と半減期（高校化学反応速度）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
反応前後の混合気体の圧力（高校化学物質の状態と気体）

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算数中学高校大学大学院

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一次反応と半減期（高校化学反応速度）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
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気体の状態方程式（高校物理熱と気体）
つながれた容器の気体（高校化学物質の状態と気体）
混合気体の分圧とモル分率（高校化学物質の状態と気体）
過不足のある反応（高校化学物質量と化学反応式）
反応前後の混合気体の圧力（高校化学物質の状態と気体）

説明

気体の分解反応などの一次反応で、半減期から「どれだけ反応したか」を求め、反応式の係数の比を使って生じた気体の物質量や体積、容積一定の容器内の全圧がどう変わるかを求められるようになります。逆に、測った全圧から反応物が何割残っているかを求め、対数を使って経過時間を出すこともできます。気体の分解反応の進み具合を圧力計で追う実験を考える場面で使います。

なぜそうしてよいのか

一次反応では、半減期 $t_{1/2}$ ごとに反応物の量が半分になるので、時間 $t$ 後に残っている物質量は $n_{0} (\frac{1}{2})^{t / t_{1/2}}$ です。容積一定の容器では濃度は物質量に比例するので、濃度で考えても物質量で考えても残っている割合は同じです。残っている割合を $r = (\frac{1}{2})^{t / t_{1/2}}$ とおけば、反応した量は $n_{0} (1 - r)$ です。

反応式の係数は反応する物質量の比なので、反応した量がわかれば、生じた各気体の物質量も、気体全体の物質量も決まります。たとえば $2 N_{2} O_{5} ⟶ 4 N O_{2} + O_{2}$ では、 $N_{2} O_{5}$ が $2$ mol 減ると気体は $4 + 1 = 5$ mol 増えるので、 $N_{2} O_{5}$ が $1$ mol 反応するごとに気体の総物質量は差し引き $\frac{5 - 2}{2} = \frac{3}{2}$ mol 増えます。温度と容積が一定なら、状態方程式 $P V = n R T$ より全圧 $P$ は気体の総物質量 $n$ に比例するので、全圧の比は総物質量の比と同じです。

逆に全圧がわかっているときは、この比例関係から総物質量を求め、そこから反応した割合 $1 - r$ 、残っている割合 $r$ がわかります。 $r = (\frac{1}{2})^{t / t_{1/2}}$ の両辺の対数をとれば $\frac{t}{t _{1/2}} = \frac{lo g _{10} r}{lo g _{10} \frac{1}{2}} = \frac{lo g _{10} \frac{1}{r}}{lo g _{10} 2}$ となり、経過時間 $t$ が求まります。

手順

経過時間が半減期の何個分かを求め、残っている割合 $r = (\frac{1}{2})^{t / t_{1/2}}$ と反応した割合 $1 - r$ を出す
はじめの物質量を $n_{0}$ （または文字でおく）として、反応した物質量 $n_{0} (1 - r)$ を求める
反応式の係数の比から、生じた各気体の物質量と、反応後の気体の総物質量を求める（「はじめ・変化量・反応後」の表を作るとよい）
温度・容積一定なら $\frac{P}{P _{0}} = \frac{n _{全}}{n _{0}}$ から全圧を求める（体積を問われたら同温・同圧での体積の比を物質量の比で求める）
逆に全圧が与えられたら、手順 3〜4 を逆にたどって $r$ を求め、 $\frac{t}{t _{1/2}} = \frac{lo g _{10} \frac{1}{r}}{lo g _{10} 2}$ から経過時間を求める

例題

容積一定の密閉容器に五酸化二窒素 $N_{2} O_{5}$ だけを入れ、温度を一定に保つと、 $2 N_{2} O_{5} ⟶ 4 N O_{2} + O_{2}$ の反応が一次反応として進んだ。物質はすべて気体で、理想気体とみなし、 $N O_{2}$ が別の物質に変わる反応は起こらないものとする。反応開始時の全圧は $1.0 \times 1 0^{5} Pa$ 、この温度での $N_{2} O_{5}$ の半減期は $20$ 分である。反応開始から $40$ 分後の容器内の全圧は何 $Pa$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順 1: $\frac{t}{t _{1/2}} = \frac{40}{20} = 2$ なので、残っている割合は $r = (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$ 、反応した割合は $\frac{3}{4}$ 。

手順 2: はじめの $N_{2} O_{5}$ を $n_{0}$ [mol] とすると、反応した量は $\frac{3}{4} n_{0}$ 。

手順 3: 係数の比 $N_{2} O_{5} : N O_{2} : O_{2} = 2 : 4 : 1$ より
- $N_{2} O_{5}$ : $\frac{1}{4} n_{0}$
- $N O_{2}$ : $\frac{3}{4} n_{0} \times 2 = \frac{3}{2} n_{0}$
- $O_{2}$ : $\frac{3}{4} n_{0} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8} n_{0}$

合計 $\frac{2 + 12 + 3}{8} n_{0} = \frac{17}{8} n_{0}$ 。

手順 4: 温度・容積一定なので全圧は総物質量に比例し、
$P = 1.0 \times 1 0^{5} \times \frac{17}{8} = 2.125 \times 1 0^{5} Pa$
有効数字 2 桁で $2.1 \times 1 0^{5} Pa$ 。

答え: $2.1 \times 1 0^{5}$

よくある誤り

残っている割合 $\frac{1}{4}$ を反応した割合と取り違え、反応した $N_{2} O_{5}$ を $\frac{1}{4} n_{0}$ としてしまう誤り。正しくは $2$ 半減期後に残っているのが $\frac{1}{4} n_{0}$ で、反応したのは $\frac{3}{4} n_{0}$ である。
反応した $N_{2} O_{5}$ の物質量と同じだけ $N O_{2}$ が生じるとしてしまう誤り（係数の比を使わない）。正しくは $2 N_{2} O_{5} \to 4 N O_{2} + O_{2}$ より、 $N O_{2}$ は反応した $N_{2} O_{5}$ の $2$ 倍、 $O_{2}$ は $\frac{1}{2}$ 倍生じる。
全圧を生成物だけで計算し、残っている反応物の分を足し忘れる誤り（例題で $\frac{3}{2} n_{0} + \frac{3}{8} n_{0} = \frac{15}{8} n_{0}$ とする）。正しくは残っている $N_{2} O_{5}$ の $\frac{1}{4} n_{0}$ も加えて $\frac{17}{8} n_{0}$ である。
全圧から経過時間を求めるとき、全圧の比をそのまま残っている割合 $r$ としてしまう誤り。正しくは、全圧の比から総物質量を出し、例題の反応なら $n_{全} = n_{0} {1 + \frac{3}{2} (1 - r)}$ を解いて $r$ を求めてから $\frac{t}{t _{1/2}} = \frac{lo g _{10} \frac{1}{r}}{lo g _{10} 2}$ を使う。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
容積が一定の密閉容器に気体 $A$ だけを入れたところ、圧力は $8.0 \times 1 0^{4} Pa$ であった。温度を一定に保つと、 $A$ は次の反応で分解した。
$A (気) ⟶ 2 B (気)$
この反応は一次反応で、この温度での $A$ の半減期は $20 min$ である。反応開始から $40 min$ 後の容器内の全圧は何 $Pa$ か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、気体はすべて理想気体とみなし、逆反応は起こらないものとする。

一次反応で生じる物質の量と気体の圧力

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

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