一次反応と半減期

一次反応 $v = k [A]$ では半減期 $t_{1/2}$ が濃度によらず一定で、 $[A] = [A]_{0} (\frac{1}{2})^{t / t_{1/2}}$ となることを使い、経過時間から残っている濃度を、または濃度の変化から経過時間・半減期を求められる

前提

速度式と速度定数（高校化学反応速度）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）

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算数中学高校大学大学院

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指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）

説明

反応速度が反応物の濃度の 1 乗に比例する反応 $v = k [A]$ を一次反応といいます。一次反応では、濃度がはじめの半分になるまでの時間（半減期 $t_{1/2}$ ）が、はじめの濃度によらず一定です。このことを使うと、ある時間がたった後に残っている濃度や、濃度が何分の 1 になるまでにかかった時間、半減期そのものを求められます。過酸化水素や五酸化二窒素の分解、放射性同位体の崩壊などの量の変化を考える場面で使います。

なぜそうしてよいのか

一次反応では $v = k [A]$ なので、はじめの濃度を 2 倍にすると、その瞬間の速度も 2 倍になります。濃度が 2 倍の容器ともとの容器を並べて考えると、どの時刻でも「濃度が 2 倍・減る速さも 2 倍」の関係が保たれ、2 倍の容器の濃度の変化はもとの容器の変化をそのまま縦に 2 倍に引きのばしたものになります。したがって、濃度 $c$ から $\frac{c}{2}$ になるまでの時間は、濃度 $2 c$ から $c$ になるまでの時間と同じです。つまり、どの濃度から始めても「半分になるまでの時間」は同じ値 $t_{1/2}$ になります（速度が濃度の 1 乗に比例するからこそ成り立つ性質で、二次反応などでは成り立ちません）。

このため、 $t_{1/2}$ たつごとに濃度は $\frac{1}{2}$ 倍、 $2 t_{1/2}$ で $(\frac{1}{2})^{2}$ 倍、 $3 t_{1/2}$ で $(\frac{1}{2})^{3}$ 倍、…となります。経過時間 $t$ が半減期の何個分かは $\frac{t}{t _{1/2}}$ なので、指数を有理数にまで広げて
$[A] = [A]_{0} (\frac{1}{2})^{\frac{t}{t _{1/2}}}$
と書けます（ $[A]_{0}$ ははじめの濃度）。たとえば $t = \frac{1}{2} t_{1/2}$ なら濃度は $(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$ 倍です。

手順

反応が一次反応（ $v = k [A]$ ）であることを確かめ、はじめの濃度 $[A]_{0}$ ・半減期 $t_{1/2}$ ・経過時間 $t$ のうち、わかっているものと求めるものを整理する（時間の単位をそろえる）
経過時間が半減期の何個分かを $\frac{t}{t _{1/2}}$ で求める
$[A] = [A]_{0} (\frac{1}{2})^{t / t_{1/2}}$ に代入して残っている濃度を求める。逆に濃度の比 $\frac{[ A ]}{[ A ] _{0}}$ がわかっているときは、それが $(\frac{1}{2})$ の何乗かを読み取って $\frac{t}{t _{1/2}}$ を求め、経過時間や半減期を出す
問題で指定された単位・有効数字で答える

例題

ある物質 A の分解反応は一次反応で、温度一定のもとでの A の半減期は $20$ 分である。A のはじめの濃度が $0.80 mol/L$ のとき、反応開始から $60$ 分後の A の濃度は何 $mol/L$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順 1: 一次反応で、 $[A]_{0} = 0.80 mol/L$ 、 $t_{1/2} = 20$ 分、 $t = 60$ 分。求めるのは $60$ 分後の濃度 $[A]$ 。単位はどちらも分でそろっている。

手順 2: $\frac{t}{t _{1/2}} = \frac{60}{20} = 3$ なので、半減期 3 個分がたっている。

手順 3: $[A] = 0.80 \times (\frac{1}{2})^{3} = 0.80 \times \frac{1}{8} = 0.10 mol/L$

手順 4: 有効数字 2 桁で $0.10 mol/L$ 。

答え: $0.10$

よくある誤り

半減期を 2 回くり返すと濃度が 0 になる（ $t = 2 t_{1/2}$ で $[A]_{0} - \frac{1}{2} [A]_{0} - \frac{1}{2} [A]_{0} = 0$ ）としてしまう誤り。正しくは、半減期ごとに「そのときの濃度」が半分になるので、 $2 t_{1/2}$ 後は $[A]_{0} \times (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4} [A]_{0}$ である。
経過時間に比例して濃度が減る（直線的に減る）と考え、 $t = \frac{1}{2} t_{1/2}$ で濃度が $\frac{3}{4} [A]_{0}$ になるとしてしまう誤り。正しくは $[A] = [A]_{0} (\frac{1}{2})^{1/2} = \frac{[ A ] _{0}}{2} \approx 0.71 [A]_{0}$ である。
残っている量ではなく反応した量を答えてしまう誤り。 $t = 3 t_{1/2}$ で「 $\frac{7}{8}$ が減った」のと「 $\frac{1}{8}$ が残っている」のを取り違えないように、問われているのが残っている濃度か、分解した量かを確かめる。
濃度が $\frac{1}{8}$ になるまでの時間を、半減期を $8$ で掛けて $8 t_{1/2}$ としてしまう誤り。正しくは $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^{3}$ なので、かかる時間は $3 t_{1/2}$ である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある温度で、触媒を加えた過酸化水素水中の過酸化水素 $H_{2} O_{2}$ の分解
$2 H_{2} O_{2} ⟶ 2 H_{2} O + O_{2}$
は、反応速度が $v = k [H_{2} O_{2}]$ （ $k$ は速度定数）で表される一次反応であり、この温度での $H_{2} O_{2}$ の半減期は $15$ 分である。 $H_{2} O_{2}$ の初濃度が $0.80 mol/L$ のとき、反応開始から $45$ 分後の $H_{2} O_{2}$ の濃度は何 $mol/L$ か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、温度は一定に保たれ、水溶液の体積は変化しないものとする。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

半減期と速度定数の関係（高校化学反応速度）
一次反応で生じる物質の量と気体の圧力（高校化学反応速度）
ラジカル重合の速度（定常状態近似）（大学化学高分子化学）