半減期と速度定数の関係

一次反応の半減期と速度定数の関係 $t_{1/2} = \frac{lo g _{e} 2}{k}$ を使って、半減期から速度定数を、速度定数から半減期を求められる

前提

一次反応と半減期（高校化学反応速度）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）

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算数中学高校大学大学院

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一次反応と半減期（高校化学反応速度）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）

説明

一次反応 $v = k [A]$ では、半減期 $t_{1/2}$ と速度定数 $k$ の間に $t_{1/2} = \frac{lo g _{e} 2}{k}$ （ $lo g_{e} 2 \approx 0.69$ ）という関係があります。これを使うと、測定した半減期から速度定数を求めたり、速度定数から半減期を求めたりできます。半減期の考え方（濃度が半分になる時間）と、速度式の $k$ とを行き来したいときに使います。

なぜそうしてよいのか

まず、半減期が $k$ に反比例することを確かめます。 $v = k [A]$ は「その瞬間に、今ある A のうち単位時間あたり $k$ の割合が反応する」という意味です。 $k$ を 2 倍にすると、どの濃度でも減る速さが 2 倍になるので、濃度の変化は時計を 2 倍速で回したのとまったく同じになります。すると半分になるまでの時間は $\frac{1}{2}$ 倍です。一般に $k$ を $c$ 倍すると $t_{1/2}$ は $\frac{1}{c}$ 倍になるので、 $k$ によらない定数 $C$ を用いて $t_{1/2} = \frac{C}{k}$ 、つまり $k t_{1/2} = C$ と書けます。

次にこの定数 $C$ を考えます。半減期を $N$ 個の短い時間 $Δ t = \frac{t _{1/2}}{N}$ に分けると、短い時間の間は濃度がほとんど変わらないので、1 区間ごとに A は $k Δ t$ の割合だけ減り、 $(1 - k Δ t)$ 倍になります。 $N$ 区間で半分になるので $(1 - \frac{C}{N})^{N} = \frac{1}{2}$ です。区間を細かくする（ $N$ を大きくする）と、左辺は $e^{- C}$ に近づくことが知られています。ここで $e = 2.718 \dots$ は自然対数の底とよばれる特別な数で、底を $e$ とする対数を $lo g_{e}$ と書きます（自然対数）。したがって $e^{- C} = \frac{1}{2}$ 、すなわち $e^{C} = 2$ で、対数の定義から $C = lo g_{e} 2$ です。

まとめると
$t_{1/2} = \frac{lo g _{e} 2}{k}, k = \frac{lo g _{e} 2}{t _{1/2}}$
です。 $lo g_{e} 2$ の値（ $0.69$ など）は問題で与えられます。 $k$ の単位は時間の逆数（ $s^{- 1}$ や $mi n^{- 1}$ ）で、 $t_{1/2}$ はそれに対応する時間の単位になります。

手順

一次反応であることを確かめ、半減期 $t_{1/2}$ と速度定数 $k$ のどちらが与えられ、どちらを求めるかを整理する
時間の単位をそろえる（ $k$ が $s^{- 1}$ なら $t_{1/2}$ は秒、分で問われたら $60$ で換算する）
$k = \frac{lo g _{e} 2}{t _{1/2}}$ または $t_{1/2} = \frac{lo g _{e} 2}{k}$ に、与えられた $lo g_{e} 2$ の値を代入して計算する
問われた単位と有効数字で答える

例題

ある化合物の分解反応は一次反応であり、ある温度での半減期は $1.5 \times 1 0^{3} s$ である。この温度における速度定数 $k$ は何 $s^{- 1}$ か。 $lo g_{e} 2 = 0.69$ とし、有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順 1: 一次反応で、 $t_{1/2} = 1.5 \times 1 0^{3} s$ が与えられ、 $k$ を求める。

手順 2: 時間の単位は秒で、求める $k$ の単位 $s^{- 1}$ とそろっている。

手順 3: $k = \frac{lo g _{e} 2}{t _{1/2}} = \frac{0.69}{1.5 \times 1 0 ^{3}} = 0.46 \times 1 0^{- 3} = 4.6 \times 1 0^{- 4} s^{- 1}$

手順 4: 有効数字 2 桁で $4.6 \times 1 0^{- 4} s^{- 1}$ 。

答え: $4.6 \times 1 0^{- 4}$

よくある誤り

半減期の 2 倍で全部なくなると考えて、 $k$ を「半分ずつ減る」から $k = \frac{1}{2 t _{1/2}}$ のように決めてしまう誤り。正しくは $k = \frac{lo g _{e} 2}{t _{1/2}} \approx \frac{0.69}{t _{1/2}}$ である。
常用対数の値を使って $t_{1/2} = \frac{lo g _{10} 2}{k} = \frac{0.30}{k}$ としてしまう誤り。正しくは自然対数 $lo g_{e} 2 = 0.69$ を使う。
$k$ と $t_{1/2}$ が比例すると考えて $t_{1/2} = k lo g_{e} 2$ としてしまう誤り。 $k$ が大きいほど反応が速く、半減期は短くなるので、正しくは反比例の $t_{1/2} = \frac{lo g _{e} 2}{k}$ である。
時間の単位をそろえずに代入してしまう誤り（半減期 $25$ 分のまま $k = \frac{0.69}{25}$ を $s^{- 1}$ の答えにする）。正しくは $25$ 分 $= 1500 s$ に直して $k = \frac{0.69}{1500} = 4.6 \times 1 0^{- 4} s^{- 1}$ とする。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある物質 $A$ の分解反応において、 $A$ のモル濃度を $[A]$ とすると、 $A$ の減少速度 $v$ は速度定数 $k$ を用いて $v = k [A]$ と表される（一次反応）。一定温度でこの反応を行ったところ、 $A$ の濃度がはじめの半分になるまでの時間（半減期）は $30 min$ であった。この温度における速度定数 $k$ は何 $/min$ か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、 $lo g_{e} 2 = 0.69$ とする。

半減期と速度定数の関係

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