エネルギーの合計と等価なマグニチュード

$lo g_{10} E = 4.8 + 1.5 M$ などの関係を使い、複数の地震のエネルギーの合計を求めて、それと等しいエネルギーを出す 1 回の地震のマグニチュードを求められる

前提

マグニチュードとエネルギー（高校地学地震と火山）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）

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算数中学高校大学大学院

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マグニチュードとエネルギー（高校地学地震と火山）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）

説明

地震のエネルギー $E$ 〔J〕とマグニチュード $M$ の間には $lo g_{10} E = 4.8 + 1.5 M$ という関係があります。この関係を使うと、いくつかの地震のエネルギーを足し合わせ、その合計と同じエネルギーを 1 回で出す地震のマグニチュードを求められます。群発地震や余震の全体の規模を 1 つの地震に置きかえて表すときや、「小さな地震が何回起きれば大地震 1 回分か」を考えるときに使います。

なぜそうしてよいのか

マグニチュードはエネルギーの対数で決まる量なので、マグニチュードどうしをそのまま足すことはできません（ $M = 6$ の地震 2 回で $M = 12$ にはなりません）。足し合わせられるのはエネルギーのほうです。そこで、まず各地震の $M$ をエネルギー $E = 1 0^{4.8 + 1.5 M}$ に直して合計 $E_{合計}$ を求め、その $E_{合計}$ を $lo g_{10} E = 4.8 + 1.5 M$ に入れて $M$ について解きます。

同じマグニチュード $M_{0}$ の地震が $N$ 回起きたときは、合計は $E_{合計} = N \times 1 0^{4.8 + 1.5 M_{0}}$ です。対数の積の性質より
$lo g_{10} E_{合計} = lo g_{10} N + 4.8 + 1.5 M_{0}$
これを $4.8 + 1.5 M$ と等しいとおくと $1.5 M = 1.5 M_{0} + lo g_{10} N$ 、つまり
$M = M_{0} + \frac{lo g _{10} N}{1.5}$
となります。定数 $4.8$ は打ち消し合うので、比だけを考えてもよいわけです。たとえば $N = 1000$ なら $lo g_{10} 1000 = 3$ で $M$ は $2$ 大きくなり、「2 大きいと 1000 倍」という前提の技能の関係と一致します。

手順

各地震のエネルギーを $E = 1 0^{4.8 + 1.5 M}$ で表す（同じマグニチュードが $N$ 回なら $N \times 1 0^{4.8 + 1.5 M_{0}}$ ）
エネルギーを足して合計 $E_{合計}$ を求める（共通の因数でくくると計算しやすい）
$lo g_{10} E_{合計}$ を、対数の性質（ $lo g_{10} ab = lo g_{10} a + lo g_{10} b$ など）と問題文で与えられた値（ $lo g_{10} 2 = 0.30$ など）を使って計算する
$lo g_{10} E_{合計} = 4.8 + 1.5 M$ を $M$ について解き、 $M = \frac{lo g _{10} E _{合計} - 4.8}{1.5}$ を求める
問題文の指定どおりに丸める

例題

地震のエネルギー $E$ 〔J〕とマグニチュード $M$ の間には $lo g_{10} E = 4.8 + 1.5 M$ の関係がある。ある地域でマグニチュード 6.0 の地震が 4 回起きた。この 4 回の地震のエネルギーの合計と等しいエネルギーを出す 1 回の地震のマグニチュードを、小数第 1 位まで求めよ。ただし、 $lo g_{10} 2 = 0.30$ とする。

例題の解答

手順 1：マグニチュード 6.0 の地震 1 回のエネルギーは
$lo g_{10} E_{6.0} = 4.8 + 1.5 \times 6.0 = 13.8 より E_{6.0} = 1 0^{13.8} (J)$

手順 2：4 回分の合計は
$E_{合計} = 4 \times 1 0^{13.8} (J)$

手順 3：対数をとると
$lo g_{10} E_{合計} = lo g_{10} 4 + 13.8 = 2 lo g_{10} 2 + 13.8 = 0.60 + 13.8 = 14.4$

手順 4： $14.4 = 4.8 + 1.5 M$ を解いて
$M = \frac{14.4 - 4.8}{1.5} = \frac{9.6}{1.5} = 6.4$

手順 5：小数第 1 位まででマグニチュード $6.4$ 。

答え: $6.4$

よくある誤り

マグニチュードどうしを足してしまう誤り。例： $6.0 \times 4 = 24$ や $6.0 + 6.0 = 12.0$ とするのは誤りで、正しくはエネルギーを足して $E_{合計} = 4 \times 1 0^{13.8}$ J とし、そこからマグニチュードを求める
エネルギーが $N$ 倍になるとマグニチュードも $N$ 倍、または $N$ だけ増えると考えてしまう誤り。正しくは $M = M_{0} + \frac{lo g _{10} N}{1.5}$ 。例：4 回分なら $6.0 + \frac{0.60}{1.5} = 6.4$ であって $6.0 + 4 = 10.0$ ではない
最後に $1.5$ で割るのを忘れ、 $M = M_{0} + lo g_{10} N$ としてしまう誤り。例： $6.0 + 0.60 = 6.6$ は誤りで、正しくは $lo g_{10} E$ が $0.60$ 増えると $M$ は $\frac{0.60}{1.5} = 0.40$ 増える
$lo g_{10} (a + b) = lo g_{10} a + lo g_{10} b$ として、異なるマグニチュードの地震のエネルギーの和の対数を、それぞれの対数の和にしてしまう誤り。対数の性質は積について $lo g_{10} ab = lo g_{10} a + lo g_{10} b$ であり、和は先に $1 0^{p} + 1 0^{q} = 1 0^{q} (1 0^{p - q} + 1)$ のようにくくってから対数をとる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
地震のマグニチュード $M$ と、その地震で放出されるエネルギー $E$ 〔J〕の間には
$lo g_{10} E = 4.8 + 1.5 M$
の関係がある。ある地域で、マグニチュード $5.0$ の地震が合計 $1000$ 回起こった。これら $1000$ 回の地震で放出されたエネルギーの合計と等しいエネルギーを 1 回で放出する地震のマグニチュードを求めよ。答えは整数で答えよ。ただし、 $1000$ 回の地震のマグニチュードはすべてちょうど $5.0$ とする。

マグニチュード	余震の回数
$6.4$	$2$ 回
$6.0$	$10$ 回
$5.6$	$36$ 回
$5.0$	$128$ 回
$4.0$	$1024$ 回

地震のマグニチュード	回数
$6.0$	$2$
$4.0$	$800$

マグニチュード	回数
6.4	1
5.4	16
4.4	512

エネルギーの合計と等価なマグニチュード

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題