地震と火山の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル高校地学地震と火山

地震で放出されるエネルギー $E$ は、マグニチュード $M$ を用いて
$E = k \cdot 3 2^{M} (k は正の定数)$
と表されるものとする。すなわち、マグニチュードが $1$ 大きいとエネルギーは $32$ 倍になり、この関係はマグニチュードの差が整数でないときにも成り立つ。

ある地域で、マグニチュード $7.0$ の本震が発生し、その後の一定期間に次の表の余震が観測された。

マグニチュード	余震の回数
$6.4$	$2$ 回
$6.0$	$10$ 回
$5.6$	$36$ 回
$5.0$	$128$ 回
$4.0$	$1024$ 回

本震とこれらの余震すべてで放出されたエネルギーの合計が、1 回の地震で放出されたとすると、その地震のマグニチュードはいくらか。小数第 $1$ 位まで求めよ。ただし、表の余震以外の地震は考えないものとする。

この問題で使うもの

エネルギーの合計と等価なマグニチュード（説明と入口の問題）
マグニチュードとエネルギー（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（14 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

基準となる地震（たとえば $M = 5.0$ ）のエネルギーを $u$ とおき、表の各マグニチュードの地震 1 回のエネルギーを $u$ の何倍かで表してみよう。

ヒント 2

$32 = 2^{5}$ を使うと、マグニチュードの差 $Δ M$ に対するエネルギー比は $3 2^{Δ M} = 2^{5Δ M}$ となる。差が $0.2$ なら $2$ 倍、 $0.4$ なら $4$ 倍、 $0.6$ なら $8$ 倍である。

ヒント 3

$M = 5.0$ の 1 回分を $u$ とすると、本震は $1024 u$ 、余震の合計は $256 u + 320 u + 288 u + 128 u + 32 u$ となる。この合計を本震と比べてみよう。

答えと解説

答えを見る

7.2

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

$32 = 2^{5}$ なので、マグニチュードの差が $Δ M$ のときエネルギーの比は
$3 2^{Δ M} = 2^{5Δ M}$
である。

マグニチュード $5.0$ の地震 1 回のエネルギーを $u$ とおく（ $u = k \cdot 3 2^{5.0}$ ）。各マグニチュードの地震 1 回のエネルギーは次のようになる。

$M = 7.0$ ： $3 2^{2.0} u = 2^{10} u = 1024 u$
$M = 6.4$ ： $3 2^{1.4} u = 2^{7} u = 128 u$
$M = 6.0$ ： $3 2^{1.0} u = 32 u$
$M = 5.6$ ： $3 2^{0.6} u = 2^{3} u = 8 u$
$M = 5.0$ ： $u$
$M = 4.0$ ： $3 2^{- 1.0} u = \frac{1}{32} u$

回数をかけて余震のエネルギーを合計すると
$128 u \times 2 + 32 u \times 10 + 8 u \times 36 + u \times 128 + \frac{1}{32} u \times 1024$
$= 256 u + 320 u + 288 u + 128 u + 32 u = 1024 u$
となり、余震全体のエネルギーは本震 1 回のエネルギー $1024 u$ に等しい。

よって、本震と余震の合計は
$1024 u + 1024 u = 2048 u = 2 \times (本震のエネルギー)$
である。

このエネルギーを出す地震のマグニチュードを $M^{'}$ とすると、本震との差 $Δ M = M^{'} - 7.0$ について
$3 2^{Δ M} = 2 ⟺ 2^{5Δ M} = 2^{1}$
より $5Δ M = 1$ 、すなわち $Δ M = 0.2$ 。

したがって $M^{'} = 7.0 + 0.2 = 7.2$ である。

（エネルギーが 2 倍になってもマグニチュードは 0.2 しか大きくならない。多数の余震のエネルギーを合計しても、マグニチュードの値はあまり変わらないことがわかる。）

別解

本震 $M = 7.0$ のエネルギーを基準 $E_{0}$ とすると、マグニチュード $M$ の地震のエネルギーは $E_{0} \cdot 3 2^{M - 7}$ と表せる。 $32 = 2^{5}$ なので $3 2^{x} = 2^{5 x}$ である。

$M = 6.4$ : $3 2^{- 0.6} = 2^{- 3} = 1/8$ 。2回なので $2/8 = 0.25$
$M = 6.0$ : $3 2^{- 1} = 1/32$ 。10回なので $10/32 = 0.3125$
$M = 5.6$ : $3 2^{- 1.4} = 2^{- 7} = 1/128$ 。36回なので $36/128 = 0.28125$
$M = 5.0$ : $3 2^{- 2} = 2^{- 10} = 1/1024$ 。128回なので $128/1024 = 0.125$
$M = 4.0$ : $3 2^{- 3} = 2^{- 15} = 1/32768$ 。1024回なので $1024/32768 = 0.03125$

本震は $1$ である。合計は $1 + 0.25 + 0.3125 + 0.28125 + 0.125 + 0.03125 = 2$ なので、全体のエネルギーは $2 E_{0}$ となる。

合計が1回の地震のエネルギーだとすると $3 2^{M - 7} = 2$ 、すなわち $2^{5 (M - 7)} = 2^{1}$ である。よって $5 (M - 7) = 1$ から $M = 7.2$ 。

検算： $3 2^{0.2} = 2$ であり、 $2 E_{0}$ と一致する。

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が答えを見ずに 3 回解き、3 回とも同じ答えになりました
プログラムで答えを計算し直し、一致を確認しました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

確認の方法について

間違いを報告する

この問題の誤り・分かりにくい点・難易度や学年のずれを知らせる

マグニチュード	回数
6.4	1
5.4	16
4.4	512

観測点	P 波の到着時刻
A	3 時 12 分 43.0 秒
B	3 時 12 分 45.0 秒
C	3 時 12 分 45.0 秒
D	3 時 12 分 45.0 秒