地震と火山の問題

震央の位置 震源の深さを $h[\text{km}]$、震央から観測点までの水平距離を $r[\text{km}]$ とする。震源距離 $d[\text{km}]$ は三平方の定理より
$$d^2=r^2+h^2$$
である。$h$ はどの観測点に対しても同じなので、震源距離が等しいことと水平距離が等しいことは同じ意味になる。

P 波は一定の速さで直進するので、P 波の到着時刻が同じ観測点は震源距離が等しい。B, C, D の到着時刻は同じだから、震央は B, C, D から水平距離が等しい点、つまり三角形 BCD の外心である。$AB=AC=AD=24\text{km}$ なので、この点は A である。よって震央は A で、震源は A の真下の深さ $h$ の位置にある。

震源の深さ A での P 波の走時（地震の発生から到着までの時間）を $\tau [\text{s}]$ とする。B, C, D には A より $45.0-43.0=2.0$ 秒遅れて P 波が届くので、それらの走時は $\tau +2.0$ 秒である。

A の震源距離は $h=6.0\tau$、B の震源距離は $6.0(\tau +2.0)$ で、B の震央からの水平距離は $24\text{km}$ だから
$$\{6.0(\tau +2.0){\}}^2=24^2+(6.0\tau {)}^2$$
$$36({\tau }^2+4\tau +4)=576+36{\tau }^2$$
$$144\tau +144=576$$
$$\tau =3.0\text{s}$$
よって $h=6.0\times 3.0=18\text{km}$ である。（確認：B の震源距離は $\sqrt{24^2+18^2}=30\text{km}$、走時は $30÷6.0=5.0$ 秒で、A より 2.0 秒遅く、表と合う。）

発生時刻 A に P 波が届いたのは 3 時 12 分 43.0 秒で、走時は 3.0 秒だから、地震の発生時刻は
$$43.0-3.0=40.0$$
より 3 時 12 分 40 秒である。

答え：$40$

A を原点、東を $x$、北を $y$、鉛直下向きを $z$（深さ）とすると、B$(24,0,0)$、C$(-24,0,0)$、D$(0,24,0)$、震源 $(x,y,h)$ とおける。

B と C に同時に到着したので、震源は B, C から等距離にあり、$x=0$。
B と D に同時に到着したので、$(x-24{)}^2+y^2=x^2+(y-24{)}^2$ より $x=y$。よって $x=y=0$ で、震源は A の真下、深さ $h$ にある。

A までの距離は $h$、B までの距離は $\sqrt{h^2+24^2}$。到着時刻の差は $45.0-43.0=2.0$ 秒なので、距離の差は $6.0\times 2.0=12$ km。
$\sqrt{h^2+576}=h+12$ の両辺を2乗すると $h^2+576=h^2+24h+144$ となり、$h=18$ km。

A までの P 波の伝わる時間は $18/6.0=3.0$ 秒。発生時刻は $43.0-3.0=40.0$ 秒。

検算：B までの距離は $\sqrt{18^2+24^2}=30$ km で、$30/6.0=5.0$ 秒。$40.0+5.0=45.0$ 秒となり、表と一致する。C, D も A から 24 km なので同じ値になる。

よって、発生時刻は 3 時 12 分 40 秒。