複数の観測点の到着時刻からの震源決定

発生時刻が分からないとき、複数の観測点の P 波の到着時刻の差（震源までの距離の差）や、同時に届いた観測点からの等距離の条件を使って、震央の位置・震源の深さ・発生時刻を求められる

前提

震源距離・震央距離と震源の深さ（高校地学地震と火山）
地震の発生時刻（高校地学地震と火山）

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地震の発生時刻（高校地学地震と火山）

説明

地震の発生時刻が分からなくても、いくつかの観測点で P 波が届いた時刻を比べれば、震源の位置を決められます。到着時刻の差に P 波の速さをかけると、震源までの距離の差が分かります。また、同じ時刻に P 波が届いた観測点どうしは震源から等しい距離にあります。これらの条件と $D^{2} = Δ^{2} + h^{2}$ を組み合わせて、震央の位置・震源の深さを求め、最後に発生時刻も求めます。

なぜそうしてよいのか

発生時刻を $t_{0}$ 、P 波の速さを $V_{p}$ 、観測点 $i$ の震源距離を $D_{i}$ とすると、P 波の到着時刻は $t_{i} = t_{0} + \frac{D _{i}}{V _{p}}$ です。 $t_{0}$ は分かりませんが、2 つの観測点の到着時刻の差をとると
$t_{i} - t_{j} = \frac{D _{i} - D _{j}}{V _{p}} つまり D_{i} - D_{j} = V_{p} (t_{i} - t_{j})$
となり、 $t_{0}$ が消えます。すなわち、到着時刻の差だけから「震源までの距離の差」が分かるのです。

特に、2 つの観測点に同時に P 波が届いた（ $t_{i} = t_{j}$ ）なら $D_{i} = D_{j}$ です。震源の深さはどちらから見ても同じ $h$ なので、 $D^{2} = Δ^{2} + h^{2}$ より震央距離も等しく、震央はその 2 点を結ぶ線分の垂直二等分線上にあります。こうした条件を集めると、震央の位置と深さ $h$ についての方程式が立ちます。

各観測点の震源距離は $D = Δ^{2} + h^{2}$ で表せるので、距離の差の条件を $D$ と $h$ の式に書きかえて解けば、深さ $h$ が決まります。震源距離が 1 つでも決まれば、前提の技能「地震の発生時刻」と同じように、到着時刻から $\frac{D}{V _{p}}$ を引いて発生時刻 $t_{0}$ も求められます。

手順

観測点の位置（震央からの距離、または観測点どうしの位置関係）と P 波の到着時刻、P 波の速さ $V_{p}$ を整理する
同時に届いた観測点があれば、それらは震源から等距離なので、震央は 2 点の垂直二等分線上にあると決める
到着時刻の差から震源距離の差を求める： $D_{i} - D_{j} = V_{p} (t_{i} - t_{j})$
各震源距離を $D = Δ^{2} + h^{2}$ で表して方程式を立て、震源の深さ $h$ （や震央の位置）を求める
必要なら、1 つの観測点で $t_{0} = t_{i} - \frac{D _{i}}{V _{p}}$ として発生時刻を求める

例題

ある地震で、観測点 A はちょうど震央にあり、観測点 B は震央から水平距離で $60 km$ 離れていた。P 波は A に 10 時 0 分 20.0 秒、B に 10 時 0 分 25.0 秒に到着した。P 波の速さは $6.0 km/s$ で一定とし、地表は平面とみなす。地震の発生時刻は分かっていない。この地震の震源の深さは何 km か。整数で求めよ。

例題の解答

手順 1：震央距離は A が $Δ_{A} = 0$ 、B が $Δ_{B} = 60$ km。P 波の到着時刻の差は $25.0 - 20.0 = 5.0$ s、 $V_{p} = 6.0$ km/s。

手順 2：同時に届いた観測点はないので、この手順は使わない。

手順 3：震源距離の差は
$D_{B} - D_{A} = 6.0 \times 5.0 = 30 (km)$

手順 4：震源の深さを $h$ とすると、A は震央にあるので $D_{A} = h$ 、B は $D_{B} = 6 0^{2} + h^{2}$ 。手順 3 より $D_{B} = h + 30$ なので
$(h + 30)^{2} = 6 0^{2} + h^{2}$
$h^{2} + 60 h + 900 = 3600 + h^{2}$
$60 h = 2700 より h = 45 (km)$

手順 5（参考）： $D_{A} = 45$ km なので、発生時刻は $20.0 - \frac{45}{6.0} = 20.0 - 7.5 = 12.5$ より 10 時 0 分 12.5 秒。B でも $D_{B} = 75$ km、 $25.0 - \frac{75}{6.0} = 12.5$ で一致する。

よって震源の深さは $45$ km。

答え: $45$

よくある誤り

到着時刻の差に速さをかけた値を、震央距離の差としてしまう誤り。到着時刻の差から分かるのは震源（地下の点）までの距離の差なので、正しくは $D_{B} - D_{A} = V_{p} (t_{B} - t_{A})$ 。例： $Δ_{B} - Δ_{A} = 30$ km とすると $60 \neq = 30$ で矛盾する
観測点の到着時刻を、そのまま震源から届くまでの時間とみなしてしまう誤り。発生時刻 $t_{0}$ が分からないので、例えば $D_{A} = 6.0 \times 20.0 = 120$ km とはできない。正しくは時刻の差 $D_{i} - D_{j} = V_{p} (t_{i} - t_{j})$ を使って $t_{0}$ を消す
震源距離の差を、震源距離の 2 乗の差と取り違えてしまう誤り。例： $D_{B}^{2} - D_{A}^{2} = 30$ とするのは誤りで、正しくは $D_{B} - D_{A} = 30$ を $D_{B} = h + 30$ と書いてから $D_{B}^{2} = Δ_{B}^{2} + h^{2}$ に代入する
同時に P 波が届いた 2 つの観測点について、震央をその 2 点の中点と決めつけてしまう誤り。等距離の条件から分かるのは、震央が 2 点を結ぶ線分の垂直二等分線上のどこかにあることだけで、位置を 1 つに決めるには別の観測点の条件が必要である

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
地表の観測点 A と観測点 B は、まっすぐな線上に $100 km$ 離れている。ある地震の震央は線分 AB 上にあり、震源はごく浅く、その深さは無視できるものとする。この地震の P 波は、観測点 A に届いてから $5.0$ 秒後に観測点 B に届いた。地震の発生時刻はわかっていない。P 波の速さを $6.0 km/s$ で一定として、観測点 A から震央までの距離は何 km か。整数で答えよ。

この技能を使う問題

観測点	P 波の到着時刻
A	3 時 12 分 43.0 秒
B	3 時 12 分 45.0 秒
C	3 時 12 分 45.0 秒
D	3 時 12 分 45.0 秒

観測点	P 波の到着時刻	初期微動継続時間
A	10 時 23 分 15.0 秒	5.0 秒
B	10 時 23 分 19.0 秒	7.8 秒

観測点	A からの東向きの距離	P 波の到達時刻
A	$0 km$	10時15分23.25秒
B	$21 km$	10時15分23.75秒
C	$60 km$	10時15分29.25秒

難易度 4（国公立二次の標準レベル）

水平で平らな地表上にある 4 つの観測点 A, B, C, D で、ある地震の P 波の到着時刻を観測した。観測点の位置と P 波の到着時刻は次の表のとおりである。位置は観測点 A を基準とし、東向きと北向きの距離で表している。

観測点	位置	P 波の到着時刻
A	基準点	3 時 26 分 48.0 秒
B	A の東 $24 km$	3 時 26 分 48.0 秒
C	A の東 $12 km$ 、北 $36 km$	3 時 26 分 49.0 秒
D	A の東 $12 km$ 、南 $39 km$	3 時 26 分 51.5 秒

P 波は震源から各観測点まで一定の速さ $6.0 km/s$ で直進するものとする。このとき、震源の深さは何 km か。整数で答えよ。