大森公式

P 波・S 波の速さ $V_{p}$ , $V_{s}$ から大森公式 $D = k T$ の比例定数 $k = \frac{V _{p} V _{s}}{V _{p} - V _{s}}$ を求めたり、観測結果から $k$ を決めて初期微動継続時間 $T$ から震源距離 $D$ を求めたりできる

前提

初期微動継続時間と震源までの距離（中学理科大地の変化）

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速さと平均の速さ（中学理科運動とエネルギー）
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地震波が伝わる時間と距離（中学理科大地の変化）
初期微動継続時間と震源までの距離（中学理科大地の変化）

説明

大森公式は、初期微動継続時間 $T$ と震源距離 $D$ の比例関係を $D = k T$ という 1 本の式にまとめたものです。比例定数 $k$ は P 波・S 波の速さ $V_{p}$ , $V_{s}$ から $k = \frac{V _{p} V _{s}}{V _{p} - V _{s}}$ で求められます。 $k$ が分かれば、観測点で初期微動が何秒続いたかを測るだけで、震源までの距離をすぐに計算できます。逆に、震源距離と初期微動継続時間の観測値から $k$ を決めることもできます。

なぜそうしてよいのか

震源から距離 $D$ の観測点に P 波が届くまでの時間は $\frac{D}{V _{p}}$ 、S 波が届くまでの時間は $\frac{D}{V _{s}}$ です。地震波は震源で同時に出るので、初期微動継続時間 $T$ はこの 2 つの到達時間の差になります。
$T = \frac{D}{V _{s}} - \frac{D}{V _{p}} = D (\frac{1}{V _{s}} - \frac{1}{V _{p}}) = D \cdot \frac{V _{p} - V _{s}}{V _{p} V _{s}}$
前提の技能で扱った「1 km あたりの到達時刻の差」がちょうど $\frac{V _{p} - V _{s}}{V _{p} V _{s}}$ です。 $V_{p} > V_{s}$ なのでこれは正の数で、 $T$ は $D$ に比例します。

この式を $D$ について解くと
$D = \frac{V _{p} V _{s}}{V _{p} - V _{s}} T$
となり、 $k = \frac{V _{p} V _{s}}{V _{p} - V _{s}}$ とおけば $D = k T$ が得られます。つまり $k$ は「初期微動が 1 秒続くごとに震源が何 km 遠いか」を表す数で、単位は km/s です。地下の岩石によって $V_{p}$ , $V_{s}$ が変わるので $k$ も地域によって少し変わりますが、日本付近の浅い地震ではおよそ 6〜8 km/s です。

手順

問題文から $V_{p}$ , $V_{s}$ （または観測された $D$ と $T$ ）を読み取り、単位をそろえる（速さは km/s、時間は s）
比例定数を求める。速さが与えられていれば $k = \frac{V _{p} V _{s}}{V _{p} - V _{s}}$ 、観測値が与えられていれば $k = \frac{D}{T}$
初期微動継続時間 $T$ を求める（P 波と S 波の到着時刻が与えられていれば、その差をとる）
大森公式 $D = k T$ に代入して震源距離 $D$ を求める（ $D$ が分かっていて $T$ を求めるときは $T = \frac{D}{k}$ ）
問題文の指定に従って丸める

例題

ある地域では、P 波の速さが $6.0 km/s$ 、S 波の速さが $3.5 km/s$ である。この地域のある観測点で、初期微動継続時間が $10 s$ であった。大森公式を用いて、この観測点から震源までの距離は何 km か。整数で求めよ。

例題の解答

手順 1： $V_{p} = 6.0 km/s$ , $V_{s} = 3.5 km/s$ , $T = 10 s$ 。単位はそろっている。

手順 2：比例定数は
$k = \frac{V _{p} V _{s}}{V _{p} - V _{s}} = \frac{6.0 \times 3.5}{6.0 - 3.5} = \frac{21}{2.5} = 8.4 (km/s)$

手順 3：初期微動継続時間は問題文から $T = 10 s$ 。

手順 4：大森公式に代入して
$D = k T = 8.4 \times 10 = 84 (km)$

手順 5：整数で答えるので $84$ km。

（確かめ：P 波は $84 \div 6.0 = 14$ s、S 波は $84 \div 3.5 = 24$ s で届き、差は $10$ s になっている。）

答え: $84$

よくある誤り

比例定数を $k = V_{p} - V_{s}$ や $k = \frac{V _{p} - V _{s}}{V _{p} V _{s}}$ としてしまう誤り。正しくは $k = \frac{V _{p} V _{s}}{V _{p} - V _{s}}$ 。 $\frac{V _{p} - V _{s}}{V _{p} V _{s}}$ は 1 km あたりの到達時刻の差（s/km）で、 $k$ はその逆数（km/s）である。例： $V_{p} = 6.0$ , $V_{s} = 3.5$ なら $k = 8.4$ であって $2.5$ や $0.119 \dots$ ではない
初期微動継続時間を P 波の到着までの時間（ $\frac{D}{V _{p}}$ ）や S 波の到着までの時間（ $\frac{D}{V _{s}}$ ）と取り違える誤り。正しくは $T = \frac{D}{V _{s}} - \frac{D}{V _{p}}$ で、P 波が届いてから S 波が届くまでの時間である
震源距離 $D$ と震央距離を同じものとしてしまう誤り。大森公式で求まるのは観測点から震源（地下の点）までの距離 $D$ であり、震源の深さを $h$ 、震央距離を $Δ$ とすると $D^{2} = Δ^{2} + h^{2}$ の関係がある
到着時刻をそのまま使い、時刻の差をとるときに分と秒の繰り上がりを誤る誤り。例：P 波 10 時 5 分 52 秒、S 波 10 時 6 分 4 秒なら $T = 12$ s であり、 $4 - 52$ のように計算しない

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある地震を観測点 A で観測したところ、初期微動継続時間は $12$ 秒であった。この地域では、P 波の速さを $6.0 km/s$ 、S 波の速さを $3.6 km/s$ とし、どちらの波も震源から観測点 A までまっすぐ一定の速さで伝わったものとする。
震源から観測点 A までの距離（震源距離）は何 km か。整数で答えよ。

この技能を使う問題

観測点	震央距離	初期微動継続時間
A	$0 km$	$4.0$ 秒
B	$24 km$	$5.0$ 秒
C	不明	$8.5$ 秒

観測点	P 波の到着時刻	S 波の到着時刻
A	9 時 14 分 03.75 秒	9 時 14 分 06.75 秒
B	9 時 14 分 06.25 秒	9 時 14 分 11.25 秒
C	9 時 14 分 09.75 秒	9 時 14 分 17.55 秒

観測点	P 波の到着時刻	初期微動継続時間
A	10 時 23 分 15.0 秒	5.0 秒
B	10 時 23 分 19.0 秒	7.8 秒

この技能の次に学べること

震源距離・震央距離と震源の深さ（高校地学地震と火山）