初期微動継続時間と震源までの距離

P 波と S 波の速さから 1 km あたりの到達時刻の差を求め、初期微動継続時間が震源までの距離に比例することを使って、初期微動継続時間から震源までの距離（またはその逆）を求められる

前提

地震波が伝わる時間と距離（中学理科大地の変化）

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速さと平均の速さ（中学理科運動とエネルギー）
地震のゆれとプレート（中学理科地学分野の用語と知識）
地震波が伝わる時間と距離（中学理科大地の変化）

説明

地震が起きると、ある地点ではまず小さなゆれ（初期微動）が始まり、少しおくれて大きなゆれ（主要動）が始まります。初期微動が続く時間（初期微動継続時間）は、P 波と S 波の到着時刻の差です。この技能を使うと、P 波と S 波の速さがわかっているとき、初期微動継続時間から震源までの距離を求めたり、逆に震源までの距離から初期微動継続時間を求めたりできます。緊急地震速報や、各地の観測記録から震源の位置を考える場面で使う考え方です。

なぜそうしてよいのか

震源から $x$ km はなれた地点を考えます。P 波の速さを $a$ km/s、S 波の速さを $b$ km/s（ $a > b$ ）とすると、「時間＝距離÷速さ」より、P 波が届くまでの時間は $\frac{x}{a}$ 秒、S 波が届くまでの時間は $\frac{x}{b}$ 秒です。P 波と S 波は震源で同時に発生するので、初期微動継続時間はこの 2 つの差 $\frac{x}{b} - \frac{x}{a}$ 秒になります。

ここで、1 km 進むのにかかる時間を考えると、P 波は $\frac{1}{a}$ 秒、S 波は $\frac{1}{b}$ 秒なので、S 波は 1 km 進むごとに P 波より $\frac{1}{b} - \frac{1}{a}$ 秒ずつおくれていきます。距離が $x$ km なら、おくれはその $x$ 倍たまるので、初期微動継続時間を $T$ 秒とすると
$T = (\frac{1}{b} - \frac{1}{a}) \times x$
となります。 $\frac{1}{b} - \frac{1}{a}$ は決まった数なので、初期微動継続時間は震源までの距離に比例します。距離が 2 倍になれば初期微動継続時間も 2 倍、距離が 3 倍なら 3 倍です（これを大森公式ということがあります）。

この比例関係を使えば、初期微動継続時間を「1 km あたりのおくれ」でわれば距離が、距離に「1 km あたりのおくれ」をかければ初期微動継続時間が求められます。

手順

P 波の速さ $a$ km/s と S 波の速さ $b$ km/s から、1 km 進むのにかかる時間をそれぞれ求める：P 波 $\frac{1}{a}$ 秒、S 波 $\frac{1}{b}$ 秒
その差をとって、1 km あたりの到達時刻の差を求める： $\frac{1}{b} - \frac{1}{a}$ 秒
初期微動継続時間は震源までの距離に比例することを使い、式を立てる。初期微動継続時間を $T$ 秒、震源までの距離を $x$ km とすると $T = (\frac{1}{b} - \frac{1}{a}) \times x$
求めたいものに応じて計算する。距離を求めるときは初期微動継続時間を 1 km あたりの差でわり、初期微動継続時間を求めるときは距離に 1 km あたりの差をかける
求めた距離で、P 波・S 波それぞれの到達時間を計算し、その差が初期微動継続時間と一致するか確かめる

例題

ある地震で、P 波の速さは 6 km/s、S 波の速さは 3 km/s であった。ある地点での初期微動継続時間は 12 秒であった。この地点から震源までの距離は何 km ですか。ただし、P 波と S 波は震源で同時に発生し、それぞれ一定の速さで伝わるものとする。

例題の解答

手順 1：1 km 進むのにかかる時間は、P 波が $\frac{1}{6}$ 秒、S 波が $\frac{1}{3}$ 秒です。

手順 2：1 km あたりの到達時刻の差は
$\frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$
で、 $\frac{1}{6}$ 秒です。

手順 3：震源までの距離を $x$ km とすると、初期微動継続時間は距離に比例するので
$\frac{1}{6} \times x = 12$

手順 4：両辺に 6 をかけて $x = 72$ 。震源までの距離は 72 km です。

手順 5（確かめ）：P 波は $72 \div 6 = 12$ 秒、S 波は $72 \div 3 = 24$ 秒で届くので、差は $24 - 12 = 12$ 秒となり、初期微動継続時間と一致します。

答え: $72$

よくある誤り

速さの差を使って「距離＝初期微動継続時間×（P 波の速さ − S 波の速さ）」としてしまう誤り。例題なら $12 \times (6 - 3) = 36$ km となって誤り。正しくは、速さの差ではなく 1 km あたりの時間の差 $\frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$ 秒を使い、 $12 \div \frac{1}{6} = 72$ km とする。
初期微動継続時間に P 波の速さだけ（または S 波の速さだけ）をかけてしまう誤り。例題なら $6 \times 12 = 72$ と偶然同じになることもあるが、 $12$ 秒は P 波が伝わった時間ではない。正しくは、初期微動継続時間は「S 波の到達時間 − P 波の到達時間」なので、 $\frac{x}{3} - \frac{x}{6} = 12$ のように両方の波から式を立てる。
初期微動継続時間を、地震の発生から初期微動が始まるまでの時間（P 波の到達時間）と取り違える誤り。正しくは、初期微動が始まってから主要動が始まるまでの時間、つまり P 波が届いてから S 波が届くまでの時間である。
「1 km あたりの差」を $\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$ と逆向きに引いて負の数にしてしまう誤り。S 波のほうがおそいので 1 km にかかる時間は S 波のほうが長く、正しくは $\frac{1}{b} - \frac{1}{a}$ （ $b < a$ ）で正の数になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある地震で、P 波は震源から一定の速さ $6 km/s$ で、S 波は一定の速さ $4 km/s$ で伝わったものとします。P 波と S 波は震源で同時に発生したものとします。ある地点 A での初期微動継続時間は $10$ 秒でした。地点 A の震源からの距離は何 km ですか。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

距離のわからない 2 地点の観測からの推定（中学理科大地の変化）
大森公式（高校地学地震と火山）