地震と火山の問題

1. 初期微動継続時間を求める

初期微動継続時間は、S 波の到着時刻から P 波の到着時刻を引いたものである。

• A: $06.75-03.75=3.0\text{s}$
• B: $11.25-06.25=5.0\text{s}$
• C: $17.55-09.75=7.8\text{s}$

2. 比例定数 $k$ と震源の深さを求める

地表は水平で、A は震央にあるので、A の震源距離は震源の深さ $h$ に等しい。大森公式より $h=3.0k$ である。

B の震源距離は $5.0k$ である。震源から震央 A までの線分（長さ $h$）と、震央から B までの線分（長さ $30\text{km}$）は直交するので、三平方の定理より
$$(5.0k{)}^2=(3.0k{)}^2+30^2$$
$$25k^2-9k^2=900$$
$$16k^2=900$$
$k>0$ より $k=\frac{30}{4}=7.5\text{km/s}$ となる。

したがって、震源の深さは $h=3.0\times 7.5=22.5\text{km}$ である。

3. C の震央距離を求める

C の震源距離は $D_C=7.5\times 7.8=58.5\text{km}$ である。C の震央距離を $x$ とすると、三平方の定理より
$$x^2=58.5^2-22.5^2=(58.5+22.5)(58.5-22.5)=81\times 36=2916$$
よって $x=54\text{km}$ となる。

（確認：P 波の速さを $6.0\text{km/s}$ とすると、A, B, C の震源距離 $22.5,37.5,58.5\text{km}$ に対する到達時間は $3.75,6.25,9.75\text{s}$ である。これらはどれも発震時刻を 9 時 14 分 00.00 秒とした場合と一致し、表のデータは互いに矛盾しない。）

答え：$54$

観測点 A は震央にあるので、A の震源距離は震源の深さ $h$ に等しい。

初期微動継続時間は
- A: $06.75-03.75=3.00\text{s}$
- B: $11.25-06.25=5.00\text{s}$
- C: $17.55-09.75=7.80\text{s}$

大森公式 $D=kT$ より、$h=3k$、$D_B=5k$、$D_C=7.8k$ となる。

B について、震央距離 $30\text{km}$ と深さ $h$ の三平方の定理より
$(5k{)}^2=30^2+(3k{)}^2$
$16k^2=900$
$k=7.5\text{km/s}$

よって $h=22.5\text{km}$、$D_C=7.8\times 7.5=58.5\text{km}$ である。

C の震央距離は
$\sqrt{58.5^2-22.5^2}=\sqrt{(58.5-22.5)(58.5+22.5)}=\sqrt{36\times 81}=54\text{km}$

検算: P 波の速さは A と B の差から $(37.5-22.5)/2.5=6.0\text{km/s}$、S 波の速さは $22.5/6.75=3.33\text{km/s}$ となる。これで C の到着時刻を計算すると、P 波は $58.5/6=9.75$ 秒、S 波は $58.5/(10/3)=17.55$ 秒で、表の値と一致する。発震時刻は 9 時 14 分 00.00 秒である。