地震と火山の問題

震央の位置を A から東へ $x\text{km}$（西なら負）、震源の深さを $h\text{km}$、地震の発生時刻を 10時15分 $t$ 秒とする。

地下は均質で P 波は速さ $6.0\text{km/s}$ で直進するので、観測点までの震源距離は「P 波の速さ × 伝わるのにかかった時間」に等しい。震源距離は三平方の定理から $\sqrt{(\text{震央距離}{)}^2+h^2}$ なので、

$$36(23.25-t{)}^2=x^2+h^2(1)$$
$$36(23.75-t{)}^2=(21-x{)}^2+h^2(2)$$
$$36(29.25-t{)}^2=(60-x{)}^2+h^2(3)$$

が成り立つ。$h^2$ と $t^2$, $x^2$ を消すため、差をとる。

$(1)-(2)$: 左辺は $36\{(23.25-t{)}^2-(23.75-t{)}^2\}=36\times (-0.5)\times (47-2t)=36t-846$、右辺は $x^2-(21-x{)}^2=42x-441$ だから
$$36t-846=42x-441\text{より}36t=42x+405(4)$$

$(1)-(3)$: 左辺は $36\times (-6)\times (52.5-2t)=432t-11340$、右辺は $x^2-(60-x{)}^2=120x-3600$ だから
$$432t=120x+7740(5)$$

$(4)$ の両辺を 12 倍すると $432t=504x+4860$。これと $(5)$ から
$$504x+4860=120x+7740,384x=2880,x=7.5$$
$(4)$ に代入して $36t=315+405=720$ より $t=20$。つまり発生時刻は 10時15分20.00秒、震央は A の東 $7.5\text{km}$ である。

$(1)$ に代入すると、A での P 波の伝わる時間は $23.25-20=3.25$ 秒なので震源距離は $6.0\times 3.25=19.5\text{km}$。よって
$$h^2=19.5^2-7.5^2=380.25-56.25=324,h=18$$

（確認: B の震央距離 $13.5\text{km}$ から震源距離 $\sqrt{13.5^2+18^2}=22.5\text{km}$、伝わる時間 $3.75$ 秒、C の震央距離 $52.5\text{km}$ から震源距離 $\sqrt{52.5^2+18^2}=55.5\text{km}$、伝わる時間 $9.25$ 秒で、表と一致する。）

震源の深さは $18\text{km}$。

震央の A からの東向きの位置を $x$ km、震源の深さを $h$ km とする。A への P 波の震源距離を $D$ km とする。
A に対する到達時刻の差は B が $0.50\text{s}$、C が $6.00\text{s}$ で、P 波の速さは $6.0\text{km/s}$ なので、震源距離は
$D_A=D,D_B=D+6.0\times 0.50=D+3,D_C=D+6.0\times 6.00=D+36$。
各観測点について(震央は直線上にあるので)
$x^2+h^2=D^2$ …①
$(x-21{)}^2+h^2=(D+3{)}^2$ …②
$(x-60{)}^2+h^2=(D+36{)}^2$ …③
②−①: $-42x+441=6D+9$ より $D=72-7x$ …④
③−①: $-120x+3600=72D+1296$ より $D=32-\frac{5}{3}x$ …⑤
④⑤より $72-7x=32-\frac{5}{3}x$、$40=\frac{16}{3}x$、$x=7.5$。よって $D=72-52.5=19.5$。
①より $h^2=19.5^2-7.5^2=380.25-56.25=324$、$h=18$。
検算: B: $(7.5-21{)}^2+18^2=182.25+324=506.25=22.5^2$、$D+3=22.5$ で一致。C: $(7.5-60{)}^2+18^2=2756.25+324=3080.25=55.5^2$、$D+36=55.5$ で一致。
よって震源の深さは $18\text{km}$。