地震と火山の問題

A を原点とし、東向きに $x$ 軸、北向きに $y$ 軸をとる（単位は km）。各観測点の座標は A$(0,0)$、B$(24,0)$、C$(12,36)$、D$(12,-39)$ である。震央の座標を $(x,y)$、震源の深さを $d$ とする。

震央の東西方向の位置　A と B では P 波の到着時刻が等しいので、震源距離が等しい。震源の深さは共通だから、震央距離も等しい。したがって震央は線分 AB の垂直二等分線上にあり、$x=12$ である。

到着時刻の差を使う　地震の発生から A に P 波が届くまでの時間を $\tau$ 秒とする。表から、C には A より $1.0$ 秒、D には A より $3.5$ 秒遅れて届いているので、震源距離はそれぞれ
$$r_A=6\tau ,r_C=6(\tau +1.0)=6\tau +6,r_D=6(\tau +3.5)=6\tau +21$$
である。三平方の定理より（$x=12$ を用いて）
$$r_A^2=12^2+y^2+d^2(1)$$
$$r_C^2=(y-36{)}^2+d^2(2)$$
$$r_D^2=(y+39{)}^2+d^2(3)$$

$(2)-(1)$ より $d^2$ が消えて
$$(6\tau +6{)}^2-(6\tau {)}^2=(y-36{)}^2-y^2-144$$
$$72\tau +36=-72y+1152$$
両辺を $72$ で割ると $\tau +0.5=-y+16$、すなわち $\tau =15.5-y(4)$。

$(3)-(1)$ より
$$(6\tau +21{)}^2-(6\tau {)}^2=(y+39{)}^2-y^2-144$$
$$252\tau +441=78y+1377(5)$$
$(4)$ を $(5)$ に代入すると
$$252(15.5-y)+441=78y+1377$$
$$4347-252y=78y+1377$$
$$330y=2970$$
よって $y=9$、$(4)$ より $\tau =6.5$ 秒である（地震の発生時刻は 3 時 26 分 41.5 秒）。

震源の深さ　$r_A=6\times 6.5=39\text{km}$。$(1)$ より
$$d^2=39^2-12^2-9^2=1521-144-81=1296$$
$d>0$ より $d=36$。

（確認：C の震源距離は $\sqrt{27^2+36^2}=45$ km で $45÷6.0=7.5$ 秒、D の震源距離は $\sqrt{48^2+36^2}=60$ km で $60÷6.0=10.0$ 秒となり、表と合う。）

したがって、震源の深さは $36\text{km}$ である。

観測点 A を原点とし、東を $x$ 軸、北を $y$ 軸、鉛直下向きの深さを $z$ とする。震源を $(x,y,z)$ とおく。座標は A(0,0)、B(24,0)、C(12,36)、D(12,−39) である。

A と B の P 波到着時刻が同じなので、震源から A、B までの距離は等しい。よって震源は A と B の垂直二等分線上にあり、$x=12$ である。

A までの距離を $a$ とすると、$a^2=144+y^2+z^2$ である。$R=y^2+z^2$ とおくと $a^2=144+R$ と書ける。

P 波の速さは $6.0\text{km/s}$ である。C は A より $1.0$ 秒遅いので、震源から C までの距離は $a+6$ である。D は A より $3.5$ 秒遅いので、震源から D までの距離は $a+21$ である。

【C について】
$(a+6{)}^2=(y-36{)}^2+z^2=R-72y+1296$
$a^2+12a+36=R-72y+1296$
$a^2=144+R$ を代入して整理すると $12a=-72y+1116$、すなわち $a=93-6y$ となる。

【D について】
$(a+21{)}^2=(y+39{)}^2+z^2=R+78y+1521$
$a^2+42a+441=R+78y+1521$
同様に整理すると $42a=78y+936$、すなわち $a=\frac{13y+156}{7}$ となる。

【連立】
$93-6y=\frac{13y+156}{7}$ より $651-42y=13y+156$。よって $55y=495$ で $y=9$ である。
このとき $a=93-54=39$ である。

【深さ】
$a^2=144+R$ より $R=1521-144=1377$ である。
$z^2=R-y^2=1377-81=1296$ なので、$z=36$ km である。

【検算】
C までの距離は $\sqrt{(9-36{)}^2+36^2}$ に東西方向の差 0 を加えたもので、$\sqrt{729+1296}=\sqrt{2025}=45=39+6$ となり、条件に合う。
D までの距離は $\sqrt{48^2+36^2}=\sqrt{3600}=60=39+21$ となり、これも合う。
A までの距離は $\sqrt{144+81+1296}=\sqrt{1521}=39$ で、B までの距離も同じ 39 である。

よって震源の深さは 36 km である。