抗体濃度の倍加と半減

抗体濃度が一定の日数ごとに半分になる・2 倍になるというデータから、半減や倍加にかかる日数を求め（ $C = C_{0} \times 2^{t / T}$ ）、その規則を使って増加が始まった時刻やある時点の濃度を求められる

前提

一次応答と二次応答（高校生物体内環境の維持と免疫）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）

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算数中学高校大学大学院

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指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）

説明

抗原を注射した後の抗体濃度は、増えている時期には「一定の日数ごとに 2 倍」、減っている時期には「一定の日数ごとに半分」のように変わることがよくあります。この技能では、抗体濃度の表から 2 倍になるのにかかる日数（倍加時間）や半分になるのにかかる日数（半減期）を求め、 $C = C_{0} \times 2^{t / T}$ の形の式を使って、表にない日の濃度や、増加が始まった日を求められるようになります。一次応答と二次応答の増え方の速さを数値で比べるときにも使います。

なぜそうしてよいのか

抗体をつくる細胞が分裂して一定の日数ごとに数が 2 倍になると、つくられる抗体の量も一定の日数ごとに 2 倍になると考えられます。倍加時間を $T$ 日とすると、ある時点の濃度 $C_{0}$ から $T$ 日後には $2 C_{0}$ 、 $2 T$ 日後には $2^{2} C_{0}$ 、 $3 T$ 日後には $2^{3} C_{0}$ になります。 $t$ 日後は「 $T$ 日が $\frac{t}{T}$ 回分」なので
$C = C_{0} \times 2^{t / T}$
となります。指数を有理数や負の数にまで広げてあるので、 $t$ が $T$ の整数倍でなくても、また $t$ が負（基準の日より前）でもこの式が使えます。たとえば $t = - T$ なら $C = C_{0} \times 2^{- 1} = \frac{C _{0}}{2}$ で、1 倍加時間前は半分だったことを表します。

濃度が減る時期も同じ考え方で、半減期を $T$ 日とすると $C = C_{0} \times (\frac{1}{2})^{t / T} = C_{0} \times 2^{- t / T}$ です。

倍加時間 $T$ は表から求めます。ある 2 つの日の濃度の比が $2^{k}$ なら、その間に $k$ 回倍加したので、 $T = \frac{( 2 つの日の間の日数 )}{k}$ です。比が 2 のべき（2, 4, 8, 16, …）になっているかを確かめることが、この規則が使えるかどうかの確認にもなります。

手順

表から、濃度が増えている（または減っている）区間の 2 つの日を選び、濃度の比を求める
比を $2^{k}$ の形に直して倍加（半減）の回数 $k$ を求め、 $T = \frac{日数の差}{k}$ で倍加時間（半減期）を求める。ほかの区間でも同じ $T$ になるか確かめる
基準にする日とその日の濃度 $C_{0}$ を決め、求めたい日が基準から何日後かを $t$ とする（前の日なら $t$ は負）
$C = C_{0} \times 2^{t / T}$ （減少なら $C = C_{0} \times 2^{- t / T}$ ）に代入して濃度を求める。逆に濃度から日を求めるときは、 $\frac{C}{C _{0}} = 2^{t / T}$ となる $t$ を求める

例題

ある動物に抗原を注射した後、血液中の抗体濃度（相対値）を測定したところ、次の表のようになった。

注射後の日数	10	12	14
抗体濃度（相対値）	3	12	48

この期間、抗体濃度は一定の日数ごとに 2 倍になって増えていたとする。この増え方が 15 日目まで続いたとすると、15 日目の抗体濃度（相対値）を求めよ。

例題の解答

手順1: 10 日目と 12 日目の濃度の比は $12 \div 3 = 4$ 。

手順2: $4 = 2^{2}$ なので、2 日間に 2 回倍加しており、倍加時間は $T = \frac{2}{2} = 1$ 日。12 日目と 14 日目も $48 \div 12 = 4 = 2^{2}$ で、同じく $T = 1$ 日になっている。

手順3: 10 日目を基準にして $C_{0} = 3$ とすると、15 日目は $t = 15 - 10 = 5$ 日後。

手順4: $C = 3 \times 2^{5/1} = 3 \times 32 = 96$ 。（14 日目を基準にしても $48 \times 2^{1} = 96$ で一致する。）

答え: $96$

よくある誤り

2 つの日の濃度の比をそのまま倍加の回数としてしまう誤り（例: 2 日で 4 倍だから 4 回倍加とし $T = \frac{2}{4} = 0.5$ 日とする）。比 $4$ は $2^{2}$ なので倍加は 2 回、 $T = \frac{2}{2} = 1$ 日。
濃度が一定量ずつ増えると考えて足し算で求めてしまう誤り（例: 2 日で $+ 9$ だから 15 日目は…とする）。倍加では一定の日数ごとに 2 倍になるので、かけ算 $C = C_{0} \times 2^{t / T}$ で求める。
$t$ を基準の日からの日数ではなく、注射後の日数そのものにしてしまう誤り（例: $3 \times 2^{15}$ ）。 $C_{0} = 3$ を 10 日目の値にしたなら $t = 15 - 10 = 5$ として $3 \times 2^{5} = 96$ 。
基準の日より前の日の濃度を求めるとき、 $t$ を正にしてしまう誤り（例: 8 日目を $3 \times 2^{2} = 12$ とする）。8 日目は 10 日目の 2 日前なので $t = - 2$ で、 $3 \times 2^{- 2} = \frac{3}{4}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある動物に抗原を注射し、血液中の抗体の濃度が最大になった日を 0 日目として、その後の抗体の濃度（相対値）を測定したところ、次の表のようになった。
日数（日） 0 14 28
抗体の濃度（相対値） 640 320 160
この期間のあとも、抗体の濃度は一定の日数ごとに半分になるという同じ規則で減り続け、その間に抗原の注射などはしないものとする。
56 日目の抗体の濃度（相対値）を求めよ。

日数（日）	0	14	28
抗体の濃度（相対値）	640	320	160

この技能を使う問題

難易度 3（共通テストレベル）
マウスに抗原 A を注射した（この日を 0 日目とする）。その後、39 日目に同じ抗原 A を再び注射した。血液中の抗 A 抗体の濃度（相対値）を測定したところ、次の表のようになった。
1 回目の注射からの日数 15 21 27 33 43 44 45
抗 A 抗体の濃度（相対値） 128 64 32 16 128 1024 8192
なお、抗 A 抗体の濃度の変化について、次のことがわかっている。
- 15 日目から 2 回目の注射をした 39 日目までは、抗 A 抗体の濃度は、一定の日数がたつごとに半分になるように減少した。
- 2 回目の注射の後、抗 A 抗体の濃度は、増加を始めるまでは 39 日目の値のまま変化しなかった。増加を始めてから少なくとも 45 日目までは、一定の時間がたつごとに 2 倍になるように増加した。
2 回目の注射をしてから、抗 A 抗体の濃度が増加を始めるまでに何日かかったか。分数で答えてよい。