体内環境の維持と免疫の問題
マウスに抗原 A を注射した（この日を 0 日目とする）。その後、39 日目に同じ抗原 A を再び注射した。血液中の抗 A 抗体の濃度（相対値）を測定したところ、次の表のようになった。
| 1 回目の注射からの日数 | 15 | 21 | 27 | 33 | 43 | 44 | 45 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 抗 A 抗体の濃度（相対値） | 128 | 64 | 32 | 16 | 128 | 1024 | 8192 |
なお、抗 A 抗体の濃度の変化について、次のことがわかっている。
- 15 日目から 2 回目の注射をした 39 日目までは、抗 A 抗体の濃度は、一定の日数がたつごとに半分になるように減少した。
- 2 回目の注射の後、抗 A 抗体の濃度は、増加を始めるまでは 39 日目の値のまま変化しなかった。増加を始めてから少なくとも 45 日目までは、一定の時間がたつごとに 2 倍になるように増加した。
2 回目の注射をしてから、抗 A 抗体の濃度が増加を始めるまでに何日かかったか。分数で答えてよい。
この問題で使うもの
- 抗体濃度の倍加と半減（説明と入口の問題）
- 一次応答と二次応答（説明と入口の問題）
この問題を解けるようになるまで（19 技能）
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ヒント
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ヒント 1
まず、2 回目の注射をしたとき（39 日目）の抗体濃度を、減少していく期間のデータから求めよう。次に、43 日目の濃度がその値より大きいことから、43 日目以降が増加期間に入っていることを確かめよう。
ヒント 2
15 日目から 33 日目までの値から、濃度が半分になるのにかかる日数がわかる。また、43 日目から 44 日目の 1 日で濃度は 倍になっている。
ヒント 3
39 日目の濃度は 8 である。2 倍になるのにかかる時間は 日である。濃度 8 から 43 日目の 128 になるまでに、何回 2 倍になったかを考えよう。
答えと解説
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解説を読む
(1) 39 日目（2 回目の注射時）の抗 A 抗体の濃度
表より、15 日目に 128、21 日目に 64、27 日目に 32、33 日目に 16 であるから、抗体濃度は 6 日ごとに半分になっている。
よって、33 日目から 6 日後の 39 日目の濃度は
である。2 回目の注射の後、増加を始めるまではこの値 8 のまま変化しない。
(2) 43 日目から 45 日目が増加している期間であることの確認
43 日目の濃度 128 は、39 日目の濃度 8 より大きい。増加を始めるまでは濃度は 8 のまま変化しないので、43 日目より前に濃度は増加を始めている。また、増加は少なくとも 45 日目まで続くので、43 日目・44 日目・45 日目はいずれも「一定の時間ごとに 2 倍になるように増加する」期間に入っている。
(3) 二次応答で濃度が 2 倍になるのにかかる時間
43 日目に 128、44 日目に 1024 であるから、1 日で
になっている。1 日の間に 3 回 2 倍になっているので、濃度が 2 倍になるのにかかる時間は 日である。44 日目から 45 日目も 倍であり、この結果と矛盾しない。
(4) 増加を始めた日
増加を始めたときの濃度は 8 で、43 日目には 128 になっている。
より、増加を始めてから 43 日目までに 4 回 2 倍になっている。これにかかる時間は
である。よって、増加を始めたのは
である。これは 39 日目より後であり、条件に合う。
(5) 2 回目の注射から増加開始までの日数
2 回目の注射では、1 回目の注射のときにできた記憶細胞（記憶 B 細胞・記憶ヘルパー T 細胞）がすばやく増殖・分化する。そのため抗体産生細胞（形質細胞）が短期間で大量につくられ、急速に多量の抗体がつくられる（二次応答）。この結果、二次応答では、増加が始まるまでの期間が短く、増加も速い。
答え： 日
別解
15日目から33日目の値は 128→64→32→16 と 6 日ごとに半分になっている。よって 39 日目の濃度は 16 の半分で 8 である。
2 回目の注射後、濃度は増加を始めるまで 8 のままである。
43, 44, 45 日目は 128→1024→8192 で、1 日ごとに 8 倍（）になっている。したがって濃度は 日ごとに 2 倍になる。
濃度が 8 から 128 になるには より 4 回倍加すればよく、これには 日かかる。
よって増加を始めたのは 43 日目の 日前で、 日目である。
2 回目の注射（39 日目）からの日数は 日。
検算: 増加開始の 日目から 44 日目までは 日で、7 回倍加する。 で表の値と一致する。