PCR 法による DNA の増幅量

1 サイクルごとに 2 本鎖 DNA が 2 倍になることから、 $n$ サイクル後の DNA 分子数（ $N_{0} \times 2^{n}$ ）を求められる

前提

指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
PCR 法と電気泳動（高校生物遺伝情報とその発現（知識））

この技能までの道筋（52 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
実験器具の使い方と安全（中学理科化学分野の用語と知識）
気体の発生方法・性質・集め方（中学理科化学分野の用語と知識）
有機物・無機物と金属の性質（中学理科化学分野の用語と知識）
原子・分子と化学式（中学理科化学分野の用語と知識）
原子の構造と同位体（高校化学物質の構成と化学結合（知識））
電子配置と価電子（高校化学物質の構成と化学結合（知識））
周期表と周期律（高校化学物質の構成と化学結合（知識））
イオン化エネルギー・電子親和力・電気陰性度（高校化学物質の構成と化学結合（知識））
イオンと電離・電解質（中学理科化学分野の用語と知識）
イオン結合と金属結合（高校化学物質の構成と化学結合（知識））
共有結合と配位結合（高校化学物質の構成と化学結合（知識））
分子の形と極性（高校化学物質の構成と化学結合（知識））
分子間力と沸点（高校化学物質の構成と化学結合（知識））
結晶の種類と性質（高校化学物質の構成と化学結合（知識））
水溶液の性質と再結晶（中学理科化学分野の用語と知識）
溶解のしくみ（水和）と極性による溶けやすさ（高校化学溶液の性質（知識））
有機化合物の特徴と官能基による分類（高校化学有機化合物（知識））
構造異性体（高校化学有機化合物（知識））
脂肪族炭化水素の置換反応・付加反応・付加重合（高校化学有機化合物（知識））
分解と化合（化学変化の種類）（中学理科化学分野の用語と知識）
酸化と還元（中学理科化学分野の用語と知識）
酸化・還元の定義（高校化学酸化還元と電池・電気分解（知識））
アルコールとエーテル（高校化学有機化合物（知識））
酸化数と酸化・還元の判定（高校化学酸化還元と電池・電気分解（知識））
酸化剤と還元剤（高校化学酸化還元と電池・電気分解（知識））
アルデヒドとケトン（高校化学有機化合物（知識））
酸・アルカリと中和・指示薬（中学理科化学分野の用語と知識）
アレニウスとブレンステッド・ローリーの酸・塩基の定義（高校化学酸と塩基（知識））
酸・塩基の価数・強弱と電離度（高校化学酸と塩基（知識））
弱酸の遊離・揮発性の酸の遊離（高校化学酸と塩基（知識））
カルボン酸とエステル（高校化学有機化合物（知識））
高分子化合物の特徴と重合の種類（高校化学高分子化合物（知識））
細胞のつくり（中学理科生物分野の用語と知識）
植物のからだのつくり（中学理科生物分野の用語と知識）
細胞分裂と生物のふえ方（中学理科生物分野の用語と知識）
動物の分類（中学理科生物分野の用語と知識）
遺伝の規則性と進化（中学理科生物分野の用語と知識）
核酸（DNA・RNA）の構成と構造（高校化学高分子化合物（知識））
DNA の構造と相補性（高校生物遺伝情報とその発現（知識））
DNA の複製のしくみ（高校生物遺伝情報とその発現（知識））
PCR 法と電気泳動（高校生物遺伝情報とその発現（知識））

説明

PCR 法では、1 サイクルごとに 2 本鎖 DNA の数が 2 倍になります。このことを使うと、はじめにあった DNA の分子数 $N_{0}$ とサイクル数 $n$ から、 $n$ サイクル後の DNA 分子数を $N_{0} \times 2^{n}$ として求められます。逆に、増えた量からサイクル数や最初の分子数を求めることもできます。

なぜそうしてよいのか

前提で学んだように、PCR 法の 1 サイクルでは、まず加熱して 2 本鎖 DNA を 1 本ずつの鎖に分け（熱変性）、温度を下げてそれぞれの鎖にプライマーを結合させ、耐熱性 DNA ポリメラーゼが新しい鎖を伸ばします（伸長）。1 本の鎖を鋳型にして 2 本鎖が 1 つでき、もとの 2 本鎖には鎖が 2 本あるので、1 サイクルで 2 本鎖 DNA 1 分子が 2 分子になります。これは DNA の半保存的複製と同じしくみです。

どの 2 本鎖 DNA も同じように 2 倍になるので、サイクルを重ねるたびに分子数は 2 倍、2 倍…と増えます。 $N_{0}$ 分子から始めると、1 サイクル後 $N_{0} \times 2$ 、2 サイクル後 $N_{0} \times 2 \times 2 = N_{0} \times 2^{2}$ となり、 $n$ サイクル後は
$N = N_{0} \times 2^{n}$
です。1 回ごとに「足す」のではなく「かける」ので、少しのサイクル数でも急激に増えます。たとえば $2^{10} = 1024$ なので、10 サイクルでおよそ 1000 倍になります。

この式は、毎サイクルですべての DNA が正しく複製される（材料が十分にあり、反応がすべてうまくいく）という理想的な場合の値です。問題文でそのように仮定されているかを確かめて使います。

手順

はじめの 2 本鎖 DNA の分子数 $N_{0}$ とサイクル数 $n$ を読み取る（1 本鎖の数で与えられていたら 2 本鎖の数に直す）
1 サイクルで 2 本鎖 DNA が 2 倍になることから、増える倍率を $2^{n}$ とする
$n$ サイクル後の分子数を $N = N_{0} \times 2^{n}$ として計算する
サイクル数を求めるときは、 $\frac{N}{N _{0}} = 2^{n}$ となる $n$ を探す（例： $\frac{N}{N _{0}} = 256 = 2^{8}$ なら $n = 8$ ）

例題

ある 2 本鎖 DNA が 50 分子含まれる溶液を用いて PCR 法を行った。1 サイクルごとに、溶液中のすべての 2 本鎖 DNA が複製されて 2 倍になるものとする。10 サイクル後の 2 本鎖 DNA の分子数を求めよ。

例題の解答

手順 1：はじめの 2 本鎖 DNA は $N_{0} = 50$ 分子、サイクル数は $n = 10$ 。

手順 2：1 サイクルごとに 2 倍になるので、10 サイクルで $2^{10} = 1024$ 倍になる。

手順 3：10 サイクル後の分子数は
$N = 50 \times 2^{10} = 50 \times 1024 = 51200$

よって、51200 分子。

答え: $51200$

よくある誤り

1 サイクルごとに $N_{0}$ ずつ増えるとして $N_{0} \times (n + 1)$ や $N_{0} \times 2 n$ としてしまう誤り。正しくは、毎サイクル「2 倍」になるので $N_{0} \times 2^{n}$ 。 $N_{0} = 50$ 、 $n = 10$ なら $50 \times 20 = 1000$ ではなく $50 \times 1024 = 51200$
$2^{n}$ を $2 \times n$ や $n^{2}$ と取り違える誤り。正しくは、 $2^{n}$ は 2 を $n$ 回かけた数で、 $2^{10} = 1024$ （ $2 \times 10 = 20$ 、 $1 0^{2} = 100$ ではない）
はじめの分子数をかけ忘れて $2^{n}$ だけを答えてしまう誤り。正しくは、 $2^{n}$ は増える「倍率」で、分子数は $N_{0} \times 2^{n}$
1 本鎖の数と 2 本鎖の数を混同する誤り。正しくは、2 本鎖 DNA $N$ 分子には 1 本鎖が $2 N$ 本含まれるので、問われているのがどちらの数かを確かめる（ $n$ サイクル後の 1 本鎖の数は $2 \times N_{0} \times 2^{n}$ ）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
増幅したい領域をもつ 2 本鎖 DNA が $50$ 分子含まれる溶液を用いて、PCR 法を $6$ サイクル行った。1 サイクルごとに、増幅したい領域の 2 本鎖 DNA の分子数はちょうど 2 倍になるものとする。 $6$ サイクル後に、増幅したい領域の 2 本鎖 DNA は何分子になるか。

この技能を使う問題

難易度 2（教科書の章末問題レベル）
長さ $1500$ 塩基対の 2 本鎖 DNA 断片 Z を増幅するため、Z を $3$ 分子含む反応液を用意し、PCR 法を $5$ サイクル行った。PCR では、1 サイクルごとに 2 本鎖 DNA の数がちょうど $2$ 倍になり、得られる 2 本鎖 DNA はすべて Z と同じ塩基配列・同じ長さ（ $1500$ 塩基対）であるものとする。
次に、増幅で得られたすべての 2 本鎖 DNA を制限酵素 X で処理した。Z には X の切断部位が $3$ か所あり、Z の一方の末端（左端とする）からの距離は次の表のとおりである。X はすべての切断部位で完全に切断し、それ以外の場所では切断しないものとする。
切断部位左端からの距離
1 $300$ 塩基対
2 $700$ 塩基対
3 $1200$ 塩基対
切断後の DNA 断片をすべてアガロースゲル電気泳動で分離した。電気泳動では断片は長さだけで分かれ、同じ長さの断片は $1$ 本のバンドとして、長さが異なる断片は別のバンドとして検出されるものとする。
制限酵素処理後に反応液中に存在する 2 本鎖 DNA 断片の総数と、電気泳動で検出されるバンドの本数を、この順に求めよ。

切断部位	左端からの距離
1	$300$ 塩基対
2	$700$ 塩基対
3	$1200$ 塩基対

この技能の次に学べること

PCR で目的領域だけの長さの DNA ができる数（高校生物遺伝情報とその発現）