PCR で目的領域だけの長さの DNA ができる数

長い鋳型 DNA の一部をプライマーで増幅するとき、各サイクルの鎖の長さの種類を追跡して、 $n$ サイクル後に両鎖とも目的領域とちょうど同じ長さの 2 本鎖 DNA の数（鋳型 1 分子あたり $2^{n} - 2 n$ ）を求められる

前提

PCR 法による DNA の増幅量（高校生物遺伝情報とその発現）

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PCR 法による DNA の増幅量（高校生物遺伝情報とその発現）

説明

PCR で長い鋳型 DNA の一部（2 つのプライマーにはさまれた目的領域）を増幅すると、 $n$ サイクル後の 2 本鎖 DNA は $2^{n}$ 倍になりますが、そのすべてが目的領域だけの長さになっているわけではありません。この技能では、各サイクルでできる鎖の長さの種類を追いかけて、両方の鎖がちょうど目的領域の長さになった 2 本鎖 DNA の数が、鋳型 1 分子あたり $2^{n} - 2 n$ であることを導き、使えるようにします。PCR の初期のサイクルで何が起きているかを理解し、目的の DNA 断片がどれだけ得られるかを求めるときに使います。

なぜそうしてよいのか

ここでは、どのサイクルでもすべての 1 本鎖が鋳型としてはたらき、プライマーから新しい鎖が鋳型の端まで（鋳型が途中で終わればそこまで）伸びるものとします。新しい鎖は必ずプライマーの位置から始まり、鋳型の 5′ 末端に達したところで止まります。すると鎖は次の 3 種類に分けられます。

元の鎖: 最初の鋳型 DNA の 2 本。両側とも目的領域より長く、何サイクルたっても 2 本のまま残ります。
片側だけ長い鎖: 元の鎖を鋳型にしてできる鎖。プライマー側の端は目的領域の端にそろいますが、反対側は鋳型の端まで伸びるので目的領域より長くなります。元の鎖は 2 本なので、毎サイクル 2 本ずつ増え、 $n$ サイクル後には $2 n$ 本あります。
目的の長さの鎖: 片側だけ長い鎖（または目的の長さの鎖）を鋳型にしてできる鎖。プライマー側の端から、鋳型のもう一方の端（＝もう一方のプライマーの位置）までしか伸びないので、両端とも目的領域にそろいます。

複製は半保存的なので、どの 2 本鎖 DNA も「鋳型になった鎖 1 本＋そのサイクルで新しくできた鎖 1 本」でできています。 $n$ サイクル後の 2 本鎖 DNA $2^{n}$ 個のうち、目的の長さでないものを数えます。
- 元の鎖を含むもの: 元の鎖 1 本につき 1 個で、2 個（相手は第 $n$ サイクルにできた片側だけ長い鎖）。
- 第 1〜第 $(n - 1)$ サイクルにできた片側だけ長い鎖を含むもの: その鎖は $2 (n - 1)$ 本あり、第 $n$ サイクルでは鋳型として目的の長さの鎖と組になっているので $2 (n - 1)$ 個。
残りはすべて、目的の長さの鎖が鋳型となって目的の長さの鎖と組になったものです。よって両鎖とも目的の長さの 2 本鎖 DNA は
$2^{n} - 2 - 2 (n - 1) = 2^{n} - 2 n$
個です。たとえば $n = 1, 2, 3$ では $0, 0, 2$ 個となり、目的の長さの 2 本鎖 DNA は第 3 サイクルで初めて現れます。 $n$ が大きくなると $2^{n}$ に比べて $2 n$ は非常に小さくなるので、ほとんどが目的の長さの DNA になります。

手順

条件を確かめる: 鋳型の 2 本鎖 DNA の数 $N_{0}$ とサイクル数 $n$ 。毎サイクルすべての鎖が鋳型になり、複製が完全に行われるとする
$n$ サイクル後の 2 本鎖 DNA の総数を求める: $N_{0} \times 2^{n}$
鋳型 1 分子あたり、目的の長さでない 2 本鎖 DNA の数を求める: 元の鎖を含むもの 2 個と、片側だけ長い鎖を鋳型として含むもの $2 (n - 1)$ 個で、合わせて $2 n$ 個
総数から引いて、鋳型 1 分子あたりの目的の長さの 2 本鎖 DNA の数 $2^{n} - 2 n$ を求め、鋳型の分子数 $N_{0}$ を掛ける: $N_{0} (2^{n} - 2 n)$

例題

長い 2 本鎖 DNA 1 分子を鋳型にして、その一部の領域を 2 種類のプライマーを用いて PCR で増幅した。各サイクルではすべての 1 本鎖 DNA が鋳型としてはたらき、新しい鎖はプライマーの位置から鋳型の末端まで伸びるものとする。また、プライマーや材料のヌクレオチドは十分にあるものとする。5 サイクル後に、2 本の鎖がどちらもプライマーにはさまれた領域とちょうど同じ長さになっている 2 本鎖 DNA は何分子あるか求めよ。

例題の解答

手順 1: 鋳型は $N_{0} = 1$ 分子、サイクル数は $n = 5$ 。すべての鎖が毎サイクル鋳型になる。

手順 2: 5 サイクル後の 2 本鎖 DNA の総数は $1 \times 2^{5} = 32$ 分子。

手順 3: 目的の長さでないものを数える。
- 元の鎖を含むもの: 2 分子
- 第 1〜第 4 サイクルにできた片側だけ長い鎖（ $2 \times 4 = 8$ 本）を含むもの: 8 分子
合わせて $2 + 8 = 10 = 2 \times 5$ 分子。

手順 4: 目的の長さの 2 本鎖 DNA は
$2^{5} - 2 \times 5 = 32 - 10 = 22 分子$

答え: $22$

よくある誤り

$n$ サイクル後の 2 本鎖 DNA がすべて目的の長さだと考えて $2^{5} = 32$ 分子としてしまう誤り。元の鎖や片側だけ長い鎖を含む DNA が残るので、正しくは $2^{5} - 2 \times 5 = 22$ 分子
目的の長さでない DNA を元の鋳型の分だけと考えて $2^{n} - 2$ （ $n = 5$ なら 30）としてしまう誤り。片側だけ長い鎖は毎サイクル 2 本ずつ増えるので、正しくは $2^{n} - 2 n$
片側だけ長い鎖を含む DNA を $2 n$ 個と数えて、元の鎖を含む 2 個と合わせ $2^{n} - 2 n - 2$ としてしまう誤り。第 $n$ サイクルにできた片側だけ長い鎖 2 本は元の鎖と組になっていて、元の鎖を含む 2 個と同じ分子なので、二重に数えない
鋳型が複数あるのに 1 分子あたりの値で答えてしまう誤り。鋳型が $N_{0}$ 分子なら、正しくは $N_{0} (2^{n} - 2 n)$ （例: $N_{0} = 3, n = 5$ なら $3 \times 22 = 66$ ）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
長い 2 本鎖 DNA が $1$ 分子だけある。この DNA の一部の領域（目的領域）を、目的領域の両端に結合する 2 種類のプライマーを使って PCR 法で増幅する。
各サイクルでは、すべての 2 本鎖 DNA が 1 本鎖に分かれ、すべての 1 本鎖にプライマーが結合し、DNA ポリメラーゼによる伸長は鋳型の 5′ 末端まで行われるものとする。また、プライマーは目的領域の両端にだけ結合し、反応は理想的に進むものとする。
この PCR を $5$ サイクル行ったあと、2 本の鎖がどちらも目的領域とちょうど同じ長さである 2 本鎖 DNA は何分子あるか。

この技能を使う問題

難易度 3（共通テストレベル）

長さ $3000$ 塩基対の直鎖状の 2 本鎖 DNA（以下、鋳型 DNA）がある。鋳型 DNA の塩基対に、左端から順に $1$ 番から $3000$ 番まで番号をつける。

この鋳型 DNA の $501$ 番から $1700$ 番までの $1200$ 塩基対の領域（以下、目的領域）を、2 種類のプライマーを用いて PCR 法で増幅した。反応液には鋳型 DNA を $3$ 分子加えた。PCR について、次のように仮定する。

1 サイクルは「加熱による 2 本鎖の解離 → プライマーの結合 → DNA ポリメラーゼによる伸長」からなる。
各サイクルでは、反応液中のすべての 1 本鎖 DNA が鋳型としてはたらき、プライマーは目的領域の両端に正確に結合し、伸長は鋳型となる鎖の $5^{'}$ 末端に達するまで進む。
プライマー・ヌクレオチドなどの材料は十分にあり、上記以外の反応は起こらない。

問 $6$ サイクル終了後、反応液中にある「2 本の鎖がどちらも目的領域（ $501$ 番〜 $1700$ 番）とちょうど同じ長さである 2 本鎖 DNA」をすべて取り出した。これを制限酵素 X と制限酵素 Y の両方で完全に切断し、電気泳動を行った。鋳型 DNA 上での X と Y の切断部位は次の表のとおりである（「 $a$ 番と $a + 1$ 番の間」で切断する）。

制限酵素	切断部位
X	$300$ 番と $301$ 番の間、 $800$ 番と $801$ 番の間、 $1100$ 番と $1101$ 番の間、 $1400$ 番と $1401$ 番の間、 $2200$ 番と $2201$ 番の間
Y	$700$ 番と $701$ 番の間、 $1550$ 番と $1551$ 番の間、 $2600$ 番と $2601$ 番の間

同じ長さ（塩基対数）の断片は電気泳動で $1$ 本のバンドになり、異なる長さの断片はすべて別のバンドとして分離されるものとする。また、切断面の付着末端による長さの違いは無視し、断片の長さは上の番号から求めるものとする。

取り出した 2 本鎖 DNA の分子数と、電気泳動で検出されるバンドの本数を、この順に組で答えよ。