整数の性質の問題

【約数の個数の求め方】
整数を素数だけのかけ算で表すと、約数の個数がわかります。たとえば $2\times 2\times 3\times 3\times 3$ の約数は、「$2$ を $0$ 個・$1$ 個・$2$ 個使う」の $3$ 通りと、「$3$ を $0$ 個・$1$ 個・$2$ 個・$3$ 個使う」の $4$ 通りの組み合わせなので、$3\times 4=12$ 個あります。

【100 から順に調べる】
- $100=2\times 2\times 5\times 5$：約数は $3\times 3=9$ 個
- $101$：素数なので約数は $2$ 個
- $102=2\times 3\times 17$：約数は $2\times 2\times 2=8$ 個
- $103$：素数なので約数は $2$ 個
- $104=2\times 2\times 2\times 13$：約数は $4\times 2=8$ 個
- $105=3\times 5\times 7$：約数は $2\times 2\times 2=8$ 個
- $106=2\times 53$：約数は $2\times 2=4$ 個
- $107$：素数なので約数は $2$ 個
- $108=2\times 2\times 3\times 3\times 3$：約数は $3\times 4=12$ 個

【たしかめ】$108$ の約数を書き出すと
$$1,2,3,4,6,9,12,18,27,36,54,108$$
の $12$ 個です。

よって、答えは $108$ です。

約数の個数は、素数の積で表したときの各素数の個数に 1 を足してかけ合わせた数。12 個になるのは、次のどれかの形。
(ア) 素数 1 種類: 11 個かける（例 $2^{11}$）
(イ) 5 個かけた素数と別の素数: 例 $32\times 3=96$、次は $32\times 5=160$
(ウ) 3 個かけた素数と、別の素数 2 個: 例 $8\times 9=72$、$27\times 4=108$、$8\times 25=200$
(エ) 2 個かけた素数と、別の素数 2 つ: 例 $4\times 3\times 5=60$、$4\times 3\times 7=84$、$9\times 2\times 5=90$、$9\times 2\times 7=126$、$4\times 3\times 11=132$
3 けた（100 以上）で小さい順に見ると、108 が最小。
検算: 100 から 107 を調べる。100 は $2^2\times 5^2$ で 9 個、101・103・107 は素数で 2 個、102 は $2\times 3\times 17$ で 8 個、104 は $2^3\times 13$ で 8 個、105 は $3\times 5\times 7$ で 8 個、106 は $2\times 53$ で 4 個。どれも 12 個ではない。
108 は $2\times 2\times 3\times 3\times 3$ で、約数は 1、2、3、4、6、9、12、18、27、36、54、108 の 12 個。