技能一覧 › 算数 整数の性質

約数の和（偶数の約数の和をふくむ）

素因数分解を使って、約数の和を $(1+2+4+8)\times (1+3+9)$ のようなかけ算で求め、偶数の約数の和（例: 72 の偶数の約数の和は $(2+4+8)\times (1+3+9)$）や奇数の約数の和も求められる

前提

• 素因数分解と約数の個数 （算数 整数の性質）

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. 整数を素因数分解する（例: $72=2\times 2\times 2\times 3\times 3$）

2. それぞれの素数について、1 とその素数を 1 こ、2 こ、… と使った数の和をつくる（例: 2 なら $1+2+4+8$、3 なら $1+3+9$）

3. 手順2 の和をすべてかけ合わせると、約数全部の和になる

4. 偶数の約数の和は、2 のかっこから 1 を除いて（$2+4+8$ のようにして）かける。奇数の約数の和は、2 のかっこを使わずに（2 を 0 こ使う 1 だけにして）ほかのかっこをかける

5. たしかめとして、約数全部の和 ＝ 偶数の約数の和 ＋ 奇数の約数の和 になっているかを見る

例題

よくある誤り

• かっこの中に 1 を入れ忘れて、約数全部の和を求めてしまう誤り。72 の約数の和を $(2+4+8)\times (3+9)=168$ としてはいけません。1 は「その素数を 0 こ使う」場合なので、正しくは $(1+2+4+8)\times (1+3+9)=15\times 13=195$ です。

• 偶数の約数の和で、2 以外のかっこからも 1 を除いてしまう誤り。72 の偶数の約数の和を $(2+4+8)\times (3+9)=168$ としてはいけません。3 は 0 こ使ってもかまわないので、正しくは $(2+4+8)\times (1+3+9)=14\times 13=182$ です。

• 素因数分解した素数をそのままたしてしまう誤り。$72=2\times 2\times 2\times 3\times 3$ から、2 のかっこを $1+2+2+2$ としてはいけません。2 を 1 こ、2 こ、3 こ使った数は 2, 4, 8 なので、正しくは $1+2+4+8$ です。

• かっこどうしをかけずにたしてしまう誤り。12 の約数の和を $(1+2+4)+(1+3)=11$ としてはいけません。表のすべてのマスの和なので、正しくは $(1+2+4)\times (1+3)=28$ です。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  $12$ は、素数だけのかけ算で $12=2\times 2\times 3$ と表せます。このことを使って、$12$ の約数をすべてたした和を求めなさい。

この技能を使う問題

• 難易度 2（教科書の練習問題レベル）

  $72$ の約数をすべてたすと、いくつになりますか。

• 難易度 2（教科書の練習問題レベル）

  $72$ の約数のうち、偶数であるものをすべてたすといくつになりますか。

• 難易度 3（中学入試の基本レベル）

  $72$ の約数のうち、偶数であるものをすべてたすといくつになりますか。