整数の性質の問題

約数の和は、もとの数を素数のかけ算に分解し、それぞれの素数でつくれる数の和をかけ合わせると、書き出さずに求められます。

$(1)$ 素数のかけ算を確かめる
$$12÷2=6,6÷2=3$$
$3$ は素数なので、
$$12=2\times 2\times 3$$
です。

$(2)$ それぞれの素数でつくれる数の和を考える

$12$ の約数は、「$2$ の部分」と「$3$ の部分」をかけた数です。
- $2$ の部分は、$2$ を $0$ 個・$1$ 個・$2$ 個使った $1,2,4$ のどれか
- $3$ の部分は、$3$ を $0$ 個・$1$ 個使った $1,3$ のどれか

$(1+2+4)\times (1+3)$ を分配法則で広げると、$1\times 1,1\times 3,2\times 1,2\times 3,4\times 1,4\times 3$ のすべてをたした式になり、これは $12$ の約数をちょうど 1 回ずつたした和になります。

$(3)$ 計算する
$$(1+2+4)\times (1+3)=7\times 4=28$$

（たしかめ: $1+2+3+4+6+12=28$ です。）

答えは $28$ です。

$12=2\times 2\times 3$ なので、約数は「2 を 0 個、1 個、2 個使う（1, 2, 4）」と「3 を 0 個、1 個使う（1, 3）」の積です。約数の和は $(1+2+4)\times (1+3)=7\times 4=28$ です。
確かめ：12 の約数は 1, 2, 3, 4, 6, 12 で、$1+2+3+4+6+12=28$ 。