整数の性質の問題

約数の個数は、もとの数を素数のかけ算に分解して、それぞれの素数を何個使うかの選び方をかけ合わせると、書き出さずに求められます。

$(1)$ 素数のかけ算を確かめる

$45$ を小さい素数から順にわっていくと、$2$ ではわりきれないので $3$ でわって
$$45÷3=15,15÷3=5$$
$5$ は素数なので
$$45=3\times 3\times 5$$
です。

$(2)$ それぞれの素数の使い方を数える

$45$ の約数は、$3$ と $5$ をいくつか選んでかけた数です（どれも選ばないときは $1$ とします）。
- $3$ は $0$ 個・$1$ 個・$2$ 個のどれかを使うので、$3$ 通り
- $5$ は $0$ 個・$1$ 個のどちらかを使うので、$2$ 通り

$(3)$ かけ合わせる
$$3\times 2=6\text{（個）}$$

（たしかめ: $45$ の約数は $1,3,5,9,15,45$ の $6$ 個です。）

答えは $6$ 個です。

$45=3\times 3\times 5$ なので、約数は 3 を 0 個、1 個、2 個使う 3 通りと、5 を 0 個、1 個使う 2 通りの組み合わせでできます。よって $3\times 2=6$ 個です。
確かめ：45 の約数は 1, 3, 5, 9, 15, 45 の 6 個です。